Triunghiul dreptunghic

Teorema lui Pitagora

Pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: instrumentul de bază pentru lungimi oriunde apare un unghi de 90° (pătrat, dreptunghi, înălțimi, trapez, cerc, cub, piramidă, con), așa cum apare în itemii grilă din Subiectele I și II.

Exemple rezolvate 5
Exerciții 12
Probleme din examene 27

Solvit Teorema lui Pitagora: Teorie

Teorie

Video: Teorema lui Pitagora. Explicația, în câteva minute.

Imaginează-ți o scară lungă de $5$ m sprijinită de un zid, cu piciorul la $3$ m de zid. La ce înălțime ajunge? Nu poți măsura direct, dar ai două informații: zidul este perpendicular pe pământ (unghi de $90°$ ) și cunoști două lungimi. Exact pentru asemenea situații există teorema lui Pitagora: într-un unghi drept, lungimile laturilor nu sunt oarecare, ci sunt legate printr-o relație foarte precisă.

Scara de $5$ m, cu piciorul la $3$ m de zid, formează un triunghi dreptunghic: ipotenuza este scara, catetele sunt solul și zidul.

Triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ : catetele $[A B]$ și $[A C]$ formează unghiul drept, ipotenuza $[B C]$ este latura din fața unghiului drept (și cea mai lungă).

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Ipotenuza este mereu cea mai lungă latură a triunghiului. În $△ A B C$ cu $∠ A = 90°$ : catetele sunt $[A B]$ și $[A C]$ , ipotenuza este $[B C]$ .

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor. Dacă $△ A B C$ are $∠ A = 90°$ , atunci $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .$

De ce este adevărat? (demonstrație prin arii). Luăm patru triunghiuri dreptunghice egale, cu catetele $a$ și $b$ și ipotenuza $c$ , și le așezăm într-un pătrat de latură $a + b$ , ca în figură. În mijloc rămâne un pătrat înclinat de latură $c$ (unghiurile lui sunt de $90°$ , pentru că cele două unghiuri ascuțite ale triunghiului se completează la $90°$ ).

Aria pătratului mare se poate calcula în două moduri: $(a + b)^{2}$ , sau cele patru triunghiuri plus pătratul din mijloc: $4 \cdot \frac{ab}{2} + c^{2} = 2 ab + c^{2}$ . Deci $a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}$ , de unde $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Pătratul mare are latura $a + b$ . În el încap 4 triunghiuri dreptunghice egale (catete $a$ și $b$ , ipotenuza $c$ ) și un pătrat înclinat de latură $c$ .

Cele trei forme utile (A = 90°, ipotenuza BC)

Aflu ipotenuza

B C = A B^{2} + A C^{2}

Aflu o catetă

A B = B C^{2} - A C^{2}

Aflu cealaltă catetă

A C = B C^{2} - A B^{2}

Ipotenuza: $B C = A B^{2} + A C^{2}$ (aici $9 + 16 = 5$ ).

O catetă: $A B = B C^{2} - A C^{2}$ (aici $25 - 16 = 3$ ).

Cealaltă catetă: $A C = B C^{2} - A B^{2}$ (aici $25 - 9 = 4$ ).

Atenție

Ipotenuza stă singură de o parte a egalității, catetele se adună, iar la aflarea unei catete se scade. Greșeli frecvente: (1) $c = a + b$ sau $c^{2} = (a + b)^{2}$ – fals, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; (2) a uita rădăcina: dacă $B C^{2} = 25$ , atunci $B C = 5$ , nu $25$ ; (3) a aplica Pitagora fără unghi de $90°$ – teorema se folosește doar în triunghi dreptunghic.

Reciproca teoremei lui Pitagora

Dacă într-un triunghi $A B C$ pătratul celei mai mari laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus celei mai mari laturi). Exemplu: $9, 12, 15$ : $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic. Pentru $7, 8, 10$ : $7^{2} + 8^{2} = 113 \neq = 100 = 1 0^{2}$ , deci nu este dreptunghic.

Triplete pitagoreice. Sunt trei numere naturale $(a, b, c)$ cu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Merită să le recunoști imediat: $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) .$ Orice multiplu al lor este tot triplet: $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ , $(10, 24, 26)$ ; util este și $(20, 21, 29)$ . Dacă într-o problemă vezi laturi precum $6$ și $8$ , ipotenuza este $10$ fără calcul.

Radicali. Când rezultatul nu este pătrat perfect, simplificăm scoțând factorul pătrat perfect: $50 = 25 \cdot 2 = 52$ ; $72 = 36 \cdot 2 = 62$ ; $48 = 16 \cdot 3 = 43$ . Un rezultat se scrie mereu în forma cea mai simplă, iar la grilă varianta corectă va fi scrisă simplificat.

$9, 12, 15$ : $9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic (unghiul drept este opus laturii $15$ ).

$7, 8, 10$ : $7^{2} + 8^{2} \neq = 1 0^{2}$ , deci unghiul opus laturii $10$ nu este drept (aici $\approx 83°$ ).

Pătratul $A B C D$ : $△ A B C$ e dreptunghic în $B$ , cu catetele $l, l$ ; deci $d^{2} = l^{2} + l^{2}$ și $d = l 2$ .

Dreptunghiul $A B C D$ : $△ A B C$ e dreptunghic în $B$ , cu catetele $L$ și $l$ ; $d = L^{2} + l^{2}$ .

Diagonale

Pătrat de latură l

d = l 2

Dreptunghi cu laturile L și l

d = L^{2} + l^{2}

Înălțimea în triunghiul echilateral și în cel isoscel. Într-un triunghi echilateral sau isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, deci cade la mijlocul bazei și formează două triunghiuri dreptunghice egale. În triunghiul echilateral de latură $l$ : $h^{2} = l^{2} - (\frac{l}{2})^{2} = \frac{3 l ^{2}}{4}$ , deci $h = \frac{l 3}{2}, A = \frac{l ^{2} 3}{4} .$ În cel isoscel cu laturile $13, 13, 10$ (figura): $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ și aria este $\frac{10 \cdot 12}{2} = 60$ .

Triunghi echilateral de latură $l$ : înălțimea $A D$ cade la mijlocul bazei, $B D = D C = \frac{l}{2}$ , iar $h = \frac{l 3}{2}$ .

Triunghi isoscel $13, 13, 10$ : $A D ⊥ B C$ , $B D = D C = 5$ , $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ .

Mediana și distanța dintre două puncte. Orice segment dintr-un triunghi dreptunghic ajută dacă îl închizi într-un alt triunghi dreptunghic. De exemplu, dacă $A B C$ este dreptunghic în $A$ cu $A B = 4$ , $A C = 6$ și $M$ este mijlocul lui $[A C]$ , atunci $A M = 3$ și $B M = A B^{2} + A M^{2} = 16 + 9 = 5$ .

Pe un sistem de axe, distanța dintre $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ este ipotenuza unui triunghi cu catetele $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ și $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ : $A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} .$ Aceeași idee dă distanța de la un punct la o dreaptă: construiești perpendiculara și calculezi în triunghiul dreptunghic format.

Trapezul. În trapezul dreptunghic sau isoscel ducem înălțimile din vârfurile bazei mici. Se formează un dreptunghi și unul sau două triunghiuri dreptunghice. Într-un trapez isoscel cu bazele $A B > C D$ , proiecțiile laturilor oblice pe baza mare au lungimea $\frac{A B - C D}{2}$ fiecare (în figură: $\frac{20 - 8}{2} = 6$ ), iar înălțimea se află din $h^{2} = A D^{2} - 6^{2} = 100 - 36 = 64$ , adică $h = 8$ .

Distanța dintre $A (1, 2)$ și $B (7, 10)$ este ipotenuza unui triunghi cu catetele $∣7 - 1∣ = 6$ și $∣10 - 2∣ = 8$ .

$A B C$ dreptunghic în $A$ , $M$ mijlocul lui $[A C]$ : în $△ A B M$ , $B M = 4^{2} + 3^{2} = 5$ .

Trapez isoscel: coborâm înălțimile $D E$ și $C F$ . $A E = F B = \frac{20 - 8}{2} = 6$ și $D E = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .

Trapez dreptunghic: din $C$ coborâm $C E ⊥ A B$ ; $E B = 16 - 7 = 9$ și $C E = 1 5^{2} - 9^{2} = 12$ .

Spre geometria în spațiu. Pitagora se aplică de mai multe ori, „pe etaje”. Diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a, b, c$ : întâi diagonala bazei, $d_{b}^{2} = a^{2} + b^{2}$ , apoi triunghiul dreptunghic format cu muchia verticală: $d = a^{2} + b^{2} + c^{2} .$ Pentru cub ( $a = b = c$ ): $d = a 3$ . Exemplu: $a = 3, b = 4, c = 12$ dă $d = 9 + 16 + 144 = 13$ . La piramida regulată, apotema (înălțimea unei fețe laterale) se află dintr-un triunghi dreptunghic; la con, generatoarea $g$ se află din $g^{2} = h^{2} + r^{2}$ .

Paralelipiped dreptunghic: $d_{b}^{2} = a^{2} + b^{2}$ (diagonala bazei), apoi $d^{2} = d_{b}^{2} + c^{2}$ , adică $d = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Cub de muchie $a$ : diagonala bazei $A C = a 2$ , diagonala cubului $A C^{'} = a 3$ .

Reține

Strategia: de câte ori vezi un unghi de $90°$ (explicit, sau ascuns: pătrat, dreptunghi, înălțime, perpendiculară, diametru, proiecție) și lungimi, gândește-te la Pitagora. Pași: (1) găsește sau construiește un triunghi dreptunghic care conține segmentul căutat; (2) identifică ipotenuza (opusă unghiului drept); (3) scrie relația; (4) simplifică radicalul.

Nu scrie rezultate la grilă ca zecimale aproximative (de ex. $7, 07$ ): la Evaluarea Națională răspunsurile sunt exacte, de forma $52$ . Verifică la final că ipotenuza a ieșit mai mare decât fiecare catetă; dacă nu, ai încurcat adunarea cu scăderea.

Solvit Teorema lui Pitagora: Exemple rezolvate

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În figura alăturată sunt reprezentate două triunghiuri dreptunghice în $A$ . În primul, $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm; în al doilea, $A B = 5$ cm și $B C = 13$ cm. Suma dintre lungimea lui $B C$ din primul triunghi și lungimea lui $A C$ din al doilea triunghi este egală cu: a) $20$ cm b) $22$ cm c) $24$ cm d) $25$ cm

Vezi rezolvarea

Primul triunghi: ipotenuza este $B C$ , $B C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 100$ , deci $B C = 10$ cm.
Al doilea triunghi: ipotenuza este $B C = 13$ , deci $A C^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144$ și $A C = 12$ cm.
Suma: $10 + 12 = 22$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $22$ cm

Exemplul 2

În figura alăturată sunt desenate două triunghiuri: primul are laturile $9$ cm, $12$ cm și $15$ cm, al doilea are laturile $7$ cm, $8$ cm și $10$ cm. Dintre ele, este dreptunghic: a) doar primul b) doar al doilea c) ambele d) niciunul

Vezi rezolvarea

Cea mai mare latură a primului triunghi este $15$ : $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ . Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, primul triunghi este dreptunghic.
Al doilea: $7^{2} + 8^{2} = 49 + 64 = 113 \neq = 100 = 1 0^{2}$ , deci nu este dreptunghic.
Varianta a).

Răspuns: a) doar primul

Exemplul 3

În figura alăturată, pătratul $A B C D$ are aria de $50$ cm $^{2}$ . Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu: a) $52$ cm b) $10$ cm c) $102$ cm d) $25$ cm

Vezi rezolvarea

Aria este $l^{2} = 50$ , deci $l = 50 = 52$ cm.
Diagonala: $d = l 2 = 52 \cdot 2 = 10$ cm.
Verificare: $d^{2} = 2 l^{2} = 100$ , deci $d = 10$ . Varianta b).

Răspuns: b) $10$ cm

Exemplul 4

În figura alăturată, trapezul isoscel $A B C D$ , $A B ∥ C D$ , are $A B = 20$ cm, $C D = 8$ cm și $A D = B C = 10$ cm. Aria trapezului este egală cu: a) $96$ cm $^{2}$ b) $112$ cm $^{2}$ c) $140$ cm $^{2}$ d) $224$ cm $^{2}$

Vezi rezolvarea

Ducem $D E ⊥ A B$ și $C F ⊥ A B$ , cu $E, F \in A B$ . $D C F E$ este dreptunghi, deci $E F = 8$ și $A E = F B = \frac{20 - 8}{2} = 6$ cm.
În $△ A D E$ dreptunghic în $E$ : $D E^{2} = A D^{2} - A E^{2} = 100 - 36 = 64$ , deci $D E = 8$ cm.
Aria: $\frac{( A B + C D ) \cdot D E}{2} = \frac{28 \cdot 8}{2} = 112$ cm $^{2}$ . Varianta b).

Răspuns: b) $112$ cm $^{2}$

Exemplul 5

În figura alăturată, piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are baza pătratul $A B C D$ cu $A B = 6$ cm și muchiile laterale $V A = 5$ cm. Aria laterală a piramidei este egală cu: a) $24$ cm $^{2}$ b) $48$ cm $^{2}$ c) $60$ cm $^{2}$ d) $72$ cm $^{2}$

Vezi rezolvarea

Fața laterală $V A B$ este isoscelă. Fie $M$ mijlocul lui $[A B]$ ; atunci $V M ⊥ A B$ și $A M = 3$ cm.
Apotema: $V M^{2} = V A^{2} - A M^{2} = 25 - 9 = 16$ , deci $V M = 4$ cm.
Aria unei fețe: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ cm $^{2}$ ; aria laterală: $4 \cdot 12 = 48$ cm $^{2}$ . Varianta b).

Răspuns: b) $48$ cm $^{2}$

Solvit Teorema lui Pitagora: Exerciții

Exersează

Exercițiul 1

În figura alăturată, pătratul $A B C D$ are perimetrul $24$ cm. Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu: a) $6$ cm b) $62$ cm c) $12$ cm d) $122$ cm

Indiciu

Mai întâi latura: perimetrul împărțit la $4$ .

Rezolvare

$l = 24 : 4 = 6$ cm.
$A C = l 2 = 62$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $62$ cm

Exercițiul 2

În figura alăturată sunt reprezentate, în sistemul de axe $x O y$ , punctele $A (1, 2)$ și $B (7, 10)$ . Calculați lungimea segmentului $A B$ .

Indiciu

Catetele sunt diferențele de abscise și de ordonate.

Rezolvare

$A B = (7 - 1)^{2} + (10 - 2)^{2} = 36 + 64 = 100$ .
$A B = 10$ .

Răspuns: $10$

Exercițiul 3

În figura alăturată este reprezentat un con circular drept cu raza bazei $5$ cm și înălțimea $12$ cm. Generatoarea conului este egală cu: a) $7$ cm b) $13$ cm c) $17$ cm d) $119$ cm

Indiciu

Generatoarea este ipotenuza triunghiului format cu înălțimea și raza.

Rezolvare

$g^{2} = h^{2} + r^{2} = 144 + 25 = 169$ .
$g = 13$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $13$ cm

Exercițiul 4

În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este isoscel cu baza $B C = 16$ cm, iar $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ , cu $A D = 6$ cm. Perimetrul triunghiului $A B C$ este egal cu: a) $32$ cm b) $36$ cm c) $38$ cm d) $44$ cm

Indiciu

Înălțimea cade la mijlocul bazei: $B D = 8$ .

Rezolvare

$A D$ este și mediană: $B D = \frac{16}{2} = 8$ cm.
În $△ A B D$ : $A B^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 100$ , deci $A B = A C = 10$ cm.
$P = 10 + 10 + 16 = 36$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $36$ cm

Exercițiul 5

În figura alăturată, dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 24$ cm și $B C = 10$ cm. Diagonala $A C$ are lungimea: a) $14$ cm b) $26$ cm c) $34$ cm d) $476$ cm

Indiciu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ .

Rezolvare

$A C^{2} = 2 4^{2} + 1 0^{2} = 576 + 100 = 676$ .
$A C = 26$ cm (triplet $5, 12, 13$ înmulțit cu $2$ ), varianta b).

Răspuns: b) $26$ cm

Exercițiul 6

În figura alăturată, triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $8$ cm, iar $A D$ este înălțime, $D \in B C$ . Lungimea lui $A D$ este egală cu: a) $4$ cm b) $42$ cm c) $43$ cm d) $83$ cm

Indiciu

$D$ este mijlocul lui $[B C]$ , deci $B D = 4$ .

Rezolvare

$A D^{2} = A B^{2} - B D^{2} = 64 - 16 = 48$ .
$A D = 48 = 16 \cdot 3 = 43$ cm, varianta c).

Răspuns: c) $43$ cm

Exercițiul 7

În figura alăturată, triunghiul $A B C$ are $A B = 20$ cm, $A C = 21$ cm și $B C = 29$ cm. Aria triunghiului $A B C$ este egală cu: a) $105$ cm $^{2}$ b) $210$ cm $^{2}$ c) $420$ cm $^{2}$ d) $609$ cm $^{2}$

Indiciu

Verifică dacă $2 9^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2}$ .

Rezolvare

$2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841 = 2 9^{2}$ , deci triunghiul este dreptunghic în $A$ (reciproca).
Aria $= \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$ cm $^{2}$ , varianta b).

Răspuns: b) $210$ cm $^{2}$

Exercițiul 8

În figura alăturată, trapezul dreptunghic $A B C D$ , $A B ∥ C D$ , $A D ⊥ A B$ , are $A B = 16$ cm, $C D = 7$ cm și $B C = 15$ cm. Lungimea laturii $A D$ este egală cu: a) $9$ cm b) $12$ cm c) $15$ cm d) $20$ cm

Indiciu

Coboară perpendiculara din $C$ pe $A B$ ; proiecția lui $B C$ pe $A B$ este $A B - C D$ .

Rezolvare

Fie $E$ piciorul perpendicularei din $C$ pe $A B$ . $A E C D$ este dreptunghi, deci $A E = C D = 7$ cm și $E B = 16 - 7 = 9$ cm.
În $△ C E B$ : $C E^{2} = 1 5^{2} - 9^{2} = 225 - 81 = 144$ , deci $C E = 12$ cm.
$A D = C E = 12$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $12$ cm

Exercițiul 9

În figura alăturată, triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 15$ cm și $A C = 20$ cm, iar $A D ⊥ B C$ , $D \in B C$ , cu $A D = 12$ cm. Lungimea segmentului $B D$ este egală cu: a) $8$ cm b) $9$ cm c) $10$ cm d) $16$ cm

Indiciu

La b) folosește triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ .

Rezolvare

$△ A B D$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $A B = 15$ și cateta $A D = 12$ .
$B D^{2} = A B^{2} - A D^{2} = 225 - 144 = 81$ , deci $B D = 9$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $9$ cm

Exercițiul 10

În figura alăturată, paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 8$ cm, $B C = 9$ cm și $A A^{'} = 12$ cm. Lungimea diagonalei $A C^{'}$ este egală cu: a) $145$ cm b) $15$ cm c) $17$ cm d) $20$ cm

Indiciu

Mai întâi diagonala bazei, apoi triunghiul $A C C^{'}$ , dreptunghic în $C$ .

Rezolvare

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 64 + 81 = 145$ (diagonala bazei).
$C C^{'} ⊥ (A B C)$ , deci $△ A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ : $A C^{'2} = A C^{2} + C C^{'2} = 145 + 144 = 289$ .
$A C^{'} = 17$ cm, varianta c).

Răspuns: c) $17$ cm

Exercițiul 11

În figura alăturată, triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $12$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $[B C]$ . Distanța de la $M$ la dreapta $A B$ este egală cu: a) $3$ cm b) $33$ cm c) $6$ cm d) $63$ cm

Indiciu

La b) calculează aria triunghiului $A B M$ în două feluri (cu baza $A B$ și cu baza $B M$ ).

Rezolvare

$B M = 6$ și $A M^{2} = 1 2^{2} - 6^{2} = 108$ , deci $A M = 63$ cm.
$A_{A B C} = \frac{12 \cdot 6 3}{2} = 363$ cm $^{2}$ , deci $A_{A B M} = 183$ cm $^{2}$ .
Cu $d$ distanța de la $M$ la $A B$ : $\frac{A B \cdot d}{2} = 183 \Rightarrow 6 d = 183$ , deci $d = 33$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $33$ cm

Exercițiul 12

În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$ și de rază $13$ cm, iar $A B = 24$ cm. Distanța de la punctul $O$ la dreapta $A B$ este egală cu: a) $1$ cm b) $5$ cm c) $7$ cm d) $12$ cm

Indiciu

Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei.

Rezolvare

Fie $M$ piciorul perpendicularei din $O$ pe $A B$ ; $M$ este mijlocul coardei, deci $A M = 12$ cm.
$△ O M A$ este dreptunghic în $M$ : $O M^{2} = O A^{2} - A M^{2} = 169 - 144 = 25$ .
$O M = 5$ cm, varianta b).

Răspuns: b) $5$ cm

Cum apare la examen

Subiectul II (grilă, figură). Cel mai des apare Pitagora „simplă”: diagonala pătratului dată prin perimetru sau arie (ex.: pătrat cu perimetrul $40$ cm, diagonala $102$ ), diagonala paralelipipedului cu dimensiuni $3, 4, 12$ (răspuns $13$ ), generatoarea conului, muchia/apotema piramidei regulate. Elevii pierd puncte la scrierea $l 2$ (uită radicalul) și la confuzia între apotemă și muchia laterală.
Subiectul II (grilă, figură). Triunghi dreptunghic cu un segment ajutător: mediana sau o înălțime într-un triunghi cu laturi date (ex.: $A B = 4$ , $A C = 6$ , $M$ mijlocul lui $[A C]$ , află $B M = 5$ ), triunghi isoscel cu bază și înălțime date (perimetru), trapez isoscel sau dreptunghic cu bazele și o latură date (înălțimea după ce coborâm perpendiculara), distanța de la centrul cercului la o coardă sau lungimea unei coarde perpendiculare pe diametru.
Subiectul I (grilă, fără figură). Pitagora apare și în calcule cu lungimi: distanța dintre două puncte din plan cu coordonate date, reciproca teoremei (care dintre trei triplete de numere sunt laturile unui triunghi dreptunghic, ex. $20, 21, 29$ sau $10, 24, 26$ ), aria unui triunghi cu laturile $13, 14, 15$ sau $10, 10, 12$ unde înălțimea se află cu Pitagora.

Solvit Teorema lui Pitagora: Exerciții de clasa a 7-a

Exerciții de clasa a 7-a

Grile la nivelul clasei în care se învață tema, cu verificare automată și rezolvare pas cu pas. Sunt 14 exerciții.

0 din 14 rezolvate

Ușor 5 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Mediu 6 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Mai greu 3 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Solvit Teorema lui Pitagora: Probleme din subiectele de examen

Din subiectele de examen

Subiecte reale (Examen, Rezervă, Simulări, Modele), grupate pe subiect. Figurile sunt în PDF-ul original.

Subiectul II grilă, 8 probleme

EN 2023, Examen 1, Subiect II.4

EN 2022, Examen 2, Subiect II.6

EN 2025, Sesiune specială 3, Subiect II.3

EN 2025, Rezervă 2, Subiect II.4

Aici vezi 8 dintre cele 27 probleme de examen ale lecției. Restul sunt în platforma completă.

Testează-te

Am ales 0 probleme la întâmplare, cu prioritate cele la care te-ai blocat. Ai marcat 0 din 0.