Cercul

Cercul și poligoane regulate

Cercul: lungime și arie, unghi la centru și unghi înscris, coarde și arce, tangente dintr-un punct exterior, poziția unei drepte față de un cerc și poziții relative a două cercuri, poligoane regulate înscrise (triunghi echilateral, pătrat, hexagon) cu formule de latură, apotemă, perimetru și arie.

Exemple rezolvate 7
Exerciții 27
Probleme din examene 51

Solvit Cercul și poligoane regulate: Teorie

Teorie

Video: Cercul și poligoane regulate. Explicația, în câteva minute.

De ce cercul? Cercul apare peste tot: roți, monede, pizza, grădini rotunde. La examen îl întâlnești în două feluri: ca formule de lungime și arie ( $2 π r$ , $π r^{2}$ ) și ca figură de geometrie în care unghiurile se leagă de arce. Dacă ții minte două idei (unghi înscris = jumătate din arc; perpendiculara din centru pe coardă o înjumătățește), rezolvi aproape orice.

Elementele cercului

Cercul $C (O, r)$ este mulțimea punctelor aflate la distanța $r$ de punctul $O$ (centrul). Raza este un segment de la centru la un punct al cercului; coarda unește două puncte ale cercului; diametrul este o coardă care trece prin centru și are lungimea $2 r$ (cea mai lungă coardă); secanta este o dreaptă care taie cercul în două puncte; tangenta are un singur punct comun cu cercul. Două puncte ale cercului determină două arce; arcul mic are măsura sub $18 0^{\circ}$ .

Suma unghiurilor

Unghiul plin în jurul centrului

36 0^{\circ}

Hexagon regulat

6 \cdot 12 0^{\circ} = 72 0^{\circ} = (6 - 2) \cdot 18 0^{\circ}

Triunghi echilateral înscris

3 \cdot 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Pătrat înscris

4 \cdot 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ}

Elementele cercului de centru $O$ : raza $O C$ , diametrul $A B$ , coarda $D E$ (dreapta $D E$ este secantă), tangenta în $T$ ( $O T ⊥$ tangentă).

Lungime și arie

Lungimea cercului

L = 2 π r = π d

Aria discului

A = π r^{2}

Lungimea unui arc de

n^{\circ}

ℓ = \frac{π r n}{180}

Aria unui sector de

n^{\circ}

A_{s} = \frac{π r ^{2} n}{360}

(informativ) Arcul $A B$ de $n^{\circ}$ (evidențiat): lungimea lui este $ℓ = \frac{π r n}{180}$ .

(informativ) Sectorul de cerc $A O B$ de $n^{\circ}$ (colorat): aria lui este $\frac{π r ^{2} n}{360}$ .

Atenție

Nu confunda $2 π r$ (lungimea, în cm) cu $π r^{2}$ (aria, în cm $^{2}$ ). Verifică întâi dacă ți se dă raza sau diametrul: dacă diametrul este $22$ cm, raza este $11$ cm și $L = 22 π$ cm. Nu înlocui $π$ cu $3, 14$ dacă nu ți se cere.

Tangenta. Tangenta într-un punct $T$ al cercului este perpendiculară pe raza $O T$ . Dacă dintr-un punct exterior $P$ ducem tangenta $P T$ , triunghiul $O T P$ este dreptunghic în $T$ , deci $P T^{2} = O P^{2} - r^{2}$ . Cele două tangente duse dintr-un punct exterior au aceeași lungime.

Tangenta $t$ în $T$ este perpendiculară pe raza $O T$ .

(informativ) Din punctul exterior $P$ ducem tangentele $P A$ și $P B$ : $P A = P B$ , $O A ⊥ P A$ , $O B ⊥ P B$ , iar $P A^{2} = O P^{2} - r^{2}$ .

Cele două tangente duse dintr-un punct exterior. Fie $P$ un punct exterior cercului de centru $O$ și $P A$ , $P B$ tangentele duse din $P$ ( $A$ și $B$ sunt punctele de tangență). Triunghiurile dreptunghice $O A P$ și $O B P$ au ipotenuza comună $O P$ și catetele $O A = O B = r$ , deci sunt congruente (ipotenuză – catetă). De aici rezultă toate proprietățile de mai jos.

(1) $P A = P B$ : tangentele sunt congruente.

(2) $O P$ este bisectoarea unghiului $∠ A P B$ și a unghiului $∠ A O B$ .

(3) $O P$ este perpendiculară pe $A B$ și trece prin mijlocul coardei $A B$ (în punctul $M$ ).

(4) Patrulaterul $O A P B$ are două unghiuri drepte, în $A$ și în $B$ , deci $∠ A O B + ∠ A P B = 18 0^{\circ}$ .

Ca să afli lungimea tangentei folosești mereu triunghiul dreptunghic $O A P$ : $P A^{2} = O P^{2} - r^{2}$ .

Tangentele $P A$ și $P B$ : $P A = P B$ , $O A ⊥ P A$ , $O B ⊥ P B$ , iar $O P ⊥ A B$ în mijlocul $M$ al coardei $A B$ .

Unghiuri în cerc. Un unghi la centru are vârful în $O$ și măsura egală cu măsura arcului pe care îl subîntinde. Un unghi înscris are vârful pe cerc și laturile secante; măsura lui este jumătate din măsura arcului subîntins (deci jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc).

Unghiul la centru $∠ A O B = 12 0^{\circ}$ are măsura arcului $A B$ ; unghiul înscris $∠ A C B = 6 0^{\circ}$ subîntinde același arc, deci are jumătate.

Unghiurile înscrise care subîntind același arc $A B$ sunt congruente: $∠ A C B = ∠ A D B = 6 0^{\circ}$ .

Reține

Unghiurile înscrise care subîntind același arc sunt congruente. Un unghi înscris care subîntinde un semicerc (arc de $18 0^{\circ}$ ) este drept: dacă $A B$ este diametru, atunci $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ pentru orice $C$ de pe cerc. Reciproc, într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris este mijlocul ipotenuzei, deci $R = \frac{ipotenuza}{2}$ .

Dacă $A B$ este diametru, orice punct $C$ al cercului vede diametrul sub un unghi drept: $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ (semicerc de $18 0^{\circ}$ ).

Triunghi dreptunghic înscris: ipotenuza $B C$ este diametru, centrul $O$ este mijlocul ei și $O A = O B = O C = R = \frac{B C}{2}$ .

Atenție

Cele trei arce determinate de vârfurile unui triunghi înscris au suma $36 0^{\circ}$ . Unghiul înscris $∠ A B C$ ia jumătate din arcul $A C$ care nu conține $B$ . Nu uita să iei arcul corect: dacă ai două unghiuri la centru, al treilea arc este $36 0^{\circ} - (\dots) - (\dots)$ .

Cele trei arce determinate de vârfurile triunghiului au suma $13 0^{\circ} + 10 0^{\circ} + 13 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ . Fiecare unghi al triunghiului ia jumătate din arcul opus lui, adică jumătate din arcul care nu conține vârful.

Coarde. Perpendiculara din centru pe o coardă trece prin mijlocul coardei. Așadar, dacă $O M ⊥ A B$ cu $M \in A B$ , atunci $A M = M B$ și triunghiul $O M A$ este dreptunghic: $r^{2} = O M^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ . Distanța de la centru la coardă este $O M$ . Coardele congruente subîntind arce congruente.

Perpendiculara $O M$ din centru pe coarda $A B$ trece prin mijlocul ei: $A M = M B = 4$ . În $△ O M A$ : $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ .

Coardele congruente $A B = C D$ subîntind arce congruente (și unghiuri la centru congruente).

Coarde și arce într-un același cerc — patru fapte de reținut.

(1) Arce congruente $\leftrightarrow$ coarde congruente. Două coarde au aceeași lungime exact atunci când arcele mici determinate de ele au aceeași măsură (adică unghiurile la centru corespunzătoare sunt congruente).

(2) Diametrul perpendicular pe o coardă. Dacă diametrul $C D$ este perpendicular pe coarda $A B$ în $M$ , atunci $M$ este mijlocul coardei ( $A M = M B$ ), iar punctele $C$ și $D$ sunt mijloacele celor două arce determinate de $A$ și $B$ (arcele $A C$ și $C B$ sunt congruente). Reciproc, diametrul care trece prin mijlocul unei coarde (care nu este diametru) este perpendicular pe ea.

(3) Arce între coarde paralele. Dacă $A B ∥ C D$ , arcele cuprinse între cele două coarde ( $A C$ și $B D$ ) sunt congruente.

(4) Coarde egal depărtate de centru. Distanța de la centru la o coardă este lungimea perpendicularei $O M$ duse din $O$ pe coardă. Două coarde sunt congruente exact atunci când sunt egal depărtate de centru, iar dintre două coarde, cea mai apropiată de centru este mai lungă. Calculul vine din Pitagora: $A B = 2 r^{2} - O M^{2}$ .

$C D ⊥ A B$ : $A M = M B$ și arcele $A C$ , $C B$ sunt congruente.

$A B ∥ C D$ : arcele $A C$ și $B D$ sunt congruente.

$O M = O N$ (perpendicularele din $O$ ): $A B = C D$ .

Poziția unei drepte față de un cerc

Fie cercul $C (O, r)$ și o dreaptă $Δ$ . Notăm cu $d$ distanța de la centrul $O$ la dreapta $Δ$ , adică lungimea perpendicularei duse din $O$ pe $Δ$ . Poziția dreptei depinde doar de comparația dintre $d$ și raza $r$ : dacă $d < r$ , dreapta este secantă (taie cercul în două puncte); dacă $d = r$ , este tangentă (un singur punct comun); dacă $d > r$ , este exterioară (niciun punct comun).

Dreapta și cercul

$Pozi ț ia dreptei$	$Condi ț ia$	$Puncte comune$	$Ce re ț inem$
$Secant \overset{a}{˘}$	$d < r$	$2$	$coarda A B cu A M = r^{2} - d^{2}$
$Tangent \overset{a}{˘}$	$d = r$	$1$	$tangenta ⊥ raza O T$
$Exterioar \overset{a}{˘}$	$d > r$	$0$	$dreapta nu atinge cercul$

Toate punctele dreptei (în afară de punctul de tangență) sunt în exteriorul cercului când dreapta este tangentă.

Secantă: $d < r$ , două puncte comune $A$ , $B$ .

Tangentă: $d = r$ , un singur punct comun $T$ .

Exterioară: $d > r$ , niciun punct comun.

Poziții relative a două cercuri. Fie cercurile $C (O_{1}, R)$ și $C (O_{2}, r)$ , cu $R \geq r$ , și fie $d = O_{1} O_{2}$ distanța dintre centre. Ca să decizi poziția, compari $d$ cu două numere: suma razelor $R + r$ și diferența razelor $R - r$ .

Cazul în care cercurile se ating într-un singur punct se numește tangență. Punctul de tangență se află întotdeauna pe dreapta centrelor $O_{1} O_{2}$ , iar tangenta comună în acest punct este perpendiculară pe $O_{1} O_{2}$ .

Două cercuri, după distanța dintre centre

$Pozi ț ia cercurilor$	$Distan ț a dintre centre$	$Puncte comune$
$Exterioare$	$d > R + r$	$0$
$Tangente exterior$	$d = R + r$	$1$
$Secante$	$R - r < d < R + r$	$2$
$Tangente interior$	$d = R - r$	$1$
$Interioare$	$0 < d < R - r$	$0$
$Concentrice$	$d = 0$	$0 (acela ș i centru, R \neq = r)$

Dacă $d < R - r$ , cercul mic este în interiorul cercului mare, fără să-l atingă.

Exterioare: $O_{1} O_{2} > R + r$ .

Tangente exterior: $O_{1} O_{2} = R + r$ .

Secante: $R - r < O_{1} O_{2} < R + r$ .

Tangente interior: $O_{1} O_{2} = R - r$ .

Interioare: $0 < O_{1} O_{2} < R - r$ .

Concentrice: $O_{1} = O_{2}$ .

Atenție

La tangența interioară distanța dintre centre este $R - r$ (nu $R + r$ ). Pentru tangența exterioară e suma razelor. Înainte de a compara, calculează ambele numere, $R + r$ și $R - r$ , și așază-le pe o axă: $d$ cade într-unul dintre cele cinci locuri (sub $R - r$ , egal cu $R - r$ , între ele, egal cu $R + r$ , peste $R + r$ ).

Poligoane regulate

Un poligon este regulat dacă are toate laturile congruente și toate unghiurile congruente. Un poligon regulat cu $n$ laturi poate fi înscris într-un cerc de rază $R$ și atunci vârfurile îl împart în $n$ arce egale; unghiul la centru corespunzător unei laturi este $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . Apotema $a$ este distanța de la centru la o latură (raza cercului înscris în poligon).

Hexagon regulat înscris: $△ A O B$ este echilateral ( $6 0^{\circ}$ , $O A = O B$ ), deci $l = R$ ; apotema $a = O M = \frac{R 3}{2}$ ( $M$ este mijlocul laturii $A B$ ).

Triunghi echilateral înscris: $O$ împarte înălțimea $A D$ în raportul $2 : 1$ , deci $R = O A = \frac{2}{3} A D$ și $r = O D = \frac{R}{2}$ .

Pătrat înscris: diagonala $A C$ este diametru, $R = \frac{l 2}{2}$ ; apotema $a = O M = \frac{l}{2}$ ( $△ A O B$ dreptunghic isoscel).

Poligoane regulate înscrise în cerc de rază $R$

Triunghi echilateral

l = R 3, a = \frac{R}{2}, A = \frac{3 R ^{2} 3}{4}

Pătrat

l = R 2, a = \frac{R 2}{2}, A = 2 R^{2}

Hexagon regulat

l = R, a = \frac{R 3}{2}, A = \frac{3 R ^{2} 3}{2}

Aceleași poligoane, în funcție de latura $l$

Triunghi echilateral

R = \frac{l 3}{3}, r = \frac{l 3}{6}, A = \frac{l ^{2} 3}{4}

Pătrat

R = \frac{l 2}{2}, r = \frac{l}{2}, A = l^{2}

Hexagon regulat

R = l, r = \frac{l 3}{2}, A = \frac{3 l ^{2} 3}{2}

Reține

Hexagonul regulat este format din șase triunghiuri echilaterale cu latura $l$ (de aceea $R = l$ și $A = 6 \cdot \frac{l ^{2} 3}{4}$ ). La triunghiul echilateral, centrul este punctul în care se întâlnesc înălțimile, iar $R = \frac{2}{3} h$ , $r = \frac{1}{3} h$ . La pătrat, $R = \frac{d}{2}$ și $r = \frac{l}{2}$ .

De ce $l = R$ la hexagonul regulat. Cele $6$ vârfuri împart cercul în $6$ arce de $6 0^{\circ}$ , deci fiecare latură se vede din centru sub un unghi de $6 0^{\circ}$ . Triunghiul $O A B$ are $O A = O B = R$ și $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ , deci este isoscel cu un unghi de $6 0^{\circ}$ , adică echilateral: $A B = R$ . Apotema $a = O M$ ( $M$ este mijlocul laturii $A B$ ) este înălțimea acestui triunghi echilateral, deci $a = \frac{R 3}{2}$ . Hexagonul are $6$ astfel de triunghiuri, deci aria lui este $6 \cdot \frac{R ^{2} 3}{4} = \frac{3 R ^{2} 3}{2}$ .

Hexagonul regulat $A B C D E F$ înscris în cercul de rază $R$ : cele șase triunghiuri $O A B$ , $O B C$ , ... sunt echilaterale, $l = A B = R$ , iar apotema $a = O M = \frac{R 3}{2}$ ( $M$ este mijlocul laturii $A B$ ).

Perimetrele poligoanelor regulate înscrise în cerc de rază $R$

Triunghi echilateral

P = 3 l = 3 R 3

Pătrat

P = 4 l = 4 R 2

Hexagon regulat

P = 6 l = 6 R

Lungimea arcului corespunzător unei laturi (de

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

)

ℓ = \frac{2 π R}{n}

Reține

Ordinea razelor față de latură: la triunghiul echilateral $l = R 3$ (latura mai mare decât raza), la pătrat $l = R 2$ , iar la hexagon $l = R$ (latura egală cu raza). Cu cât are mai multe laturi, cu atât perimetrul poligonului se apropie de lungimea cercului $2 π R$ : $3 R 3 \approx 5, 2 R < 4 R 2 \approx 5, 66 R < 6 R < 2 π R \approx 6, 28 R$ .

Solvit Cercul și poligoane regulate: Exemple rezolvate

Exemple rezolvate

Exemplul 1

În figura alăturată este reprezentat un cerc cu lungimea de $20 π$ cm. Aria discului este egală cu: a) $20 π$ cm $^{2}$ b) $40 π$ cm $^{2}$ c) $100 π$ cm $^{2}$ d) $400 π$ cm $^{2}$

Vezi rezolvarea

Din $2 π r = 20 π$ obținem $r = 10$ cm.
Aria: $A = π r^{2} = π \cdot 100 = 100 π$ cm $^{2}$ .

Răspuns: c) $100 π$ cm $^{2}$

Exemplul 2

În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ se află pe cercul de centru $O$ , astfel încât $O$ este în interiorul triunghiului $A B C$ , $∠ A O B = 13 0^{\circ}$ și $∠ B O C = 10 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $A B C$ este egală cu: a) $5 0^{\circ}$ b) $6 5^{\circ}$ c) $11 5^{\circ}$ d) $13 0^{\circ}$

Vezi rezolvarea

Măsurile arcelor $A B$ , $B C$ , $C A$ au suma $36 0^{\circ}$ : arcul $A B$ are $13 0^{\circ}$ , arcul $B C$ are $10 0^{\circ}$ , deci arcul $A C$ (cel care nu conține $B$ ) are $36 0^{\circ} - 13 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .
$∠ A B C$ este unghi înscris care subîntinde arcul $A C$ .
$∠ A B C = \frac{13 0 ^{\circ}}{2} = 6 5^{\circ}$ .

Răspuns: b) $6 5^{\circ}$

Exemplul 3

În figura alăturată, coarda $A B = 24$ cm este într-un cerc de centru $O$ și rază $13$ cm. Calculează distanța de la $O$ la dreapta $A B$ .

Vezi rezolvarea

Fie $O M ⊥ A B$ , $M \in A B$ . Atunci $M$ este mijlocul lui $A B$ și $A M = 12$ cm.
În $△ O M A$ (dreptunghic în $M$ ): $O M^{2} = O A^{2} - A M^{2} = 169 - 144 = 25$ , deci $O M = 5$ cm.

Răspuns: $5$ cm

Exemplul 4

În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat cu latura de $6$ cm. Aria hexagonului este egală cu: a) $363$ cm $^{2}$ b) $543$ cm $^{2}$ c) $1083$ cm $^{2}$ d) $216$ cm $^{2}$

Vezi rezolvarea

În hexagonul regulat $R = l = 6$ cm (hexagonul se împarte în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $6$ cm).
Aria unui triunghi echilateral: $\frac{6 ^{2} 3}{4} = 93$ cm $^{2}$ .
$A = 6 \cdot 93 = 543$ cm $^{2}$ .

Răspuns: b) $543$ cm $^{2}$

Exemplul 5

În figura alăturată, punctele $A$ , $B$ și $C$ se află pe cercul de centru $O$ , $∠ A C B = 3 0^{\circ}$ și $A B = 9$ cm. Lungimea cercului este egală cu: a) $9 π$ cm b) $18 π$ cm c) $27 π$ cm d) $36 π$ cm

Vezi rezolvarea

$∠ A C B$ este unghi înscris, deci arcul mic $A B$ are $2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ , iar $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ .
$△ A O B$ este isoscel ( $O A = O B$ ) cu un unghi de $6 0^{\circ}$ , deci echilateral: $R = O A = A B = 9$ cm.
$L = 2 π R = 18 π$ cm.

Răspuns: b) $18 π$ cm

Exemplul 6

Cercurile $C (O_{1}, 10 cm)$ și $C (O_{2}, 4 cm)$ au distanța dintre centre $d = O_{1} O_{2}$ . Precizează poziția relativă a celor două cercuri pentru: a) $d = 14$ cm; b) $d = 6$ cm; c) $d = 8$ cm; d) $d = 3$ cm; e) $d = 15$ cm. (Figura alăturată arată cazul $d = 8$ cm.)

Vezi rezolvarea

Calculăm cele două praguri: $R + r = 10 + 4 = 14$ cm și $R - r = 10 - 4 = 6$ cm.
a) $d = 14 = R + r$ : cercurile sunt tangente exterior.
b) $d = 6 = R - r$ : cercurile sunt tangente interior.
c) $6 < 8 < 14$ , adică $R - r < d < R + r$ : cercurile sunt secante (se intersectează în două puncte).
d) $d = 3 < 6 = R - r$ : cercurile sunt interioare (cercul mic este în interiorul celui mare, fără să-l atingă).
e) $d = 15 > 14 = R + r$ : cercurile sunt exterioare.

Răspuns: a) tangente exterior; b) tangente interior; c) secante; d) interioare; e) exterioare

Exemplul 7

Hexagonul regulat $A B C D E F$ este înscris într-un cerc cu raza $R = 4$ cm. Calculează latura, apotema, perimetrul și aria hexagonului, precum și lungimea arcului mic $A B$ .

Vezi rezolvarea

La hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza: $l = R = 4$ cm.
Apotema: $a = \frac{R 3}{2} = \frac{4 3}{2} = 23$ cm.
Perimetrul: $P = 6 l = 6 \cdot 4 = 24$ cm.
Aria: $A = \frac{3 R ^{2} 3}{2} = \frac{3 \cdot 16 3}{2} = 243$ cm $^{2}$ . (Verificare: $\frac{P \cdot a}{2} = \frac{24 \cdot 2 3}{2} = 243$ .)
Arcul mic $A B$ are $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ , deci $ℓ = \frac{π \cdot 4 \cdot 60}{180} = \frac{4 π}{3}$ cm.

Răspuns: $l = 4$ cm, $a = 23$ cm, $P = 24$ cm, $A = 243$ cm $^{2}$ , $ℓ = \frac{4 π}{3}$ cm

Solvit Cercul și poligoane regulate: Exerciții

Exersează

Exercițiul 1

În figura alăturată este reprezentat un cerc cu diametrul $A B = 14$ cm. Lungimea cercului este egală cu: a) $7 π$ cm b) $14 π$ cm c) $28 π$ cm d) $49 π$ cm

Indiciu

Raza este jumătate din diametru.

Rezolvare

$r = 14 : 2 = 7$ cm.
$L = 2 π r = 14 π$ cm.

Răspuns: b) $14 π$ cm

Exercițiul 2

Lungimea unui cerc este egală cu $18 π$ cm. Calculează aria discului limitat de cerc.

Indiciu

Folosește $L = 2 π r$ .

Rezolvare

$2 π r = 18 π$ , deci $r = 9$ cm.
$A = π \cdot 9^{2} = 81 π$ cm $^{2}$ .

Răspuns: $81 π$ cm $^{2}$

Exercițiul 3

Punctele $A$ , $B$ și $C$ se află pe cercul de centru $O$ , iar arcele mici $A B$ , $B C$ și $C A$ sunt congruente. Măsura unghiului $B O C$ este: a) $3 0^{\circ}$ ; b) $6 0^{\circ}$ ; c) $9 0^{\circ}$ ; d) $12 0^{\circ}$ .

Indiciu

Cele trei arce au suma $36 0^{\circ}$ .

Rezolvare

Fiecare arc are $\frac{36 0 ^{\circ}}{3} = 12 0^{\circ}$ .
Unghiul la centru $∠ B O C$ are măsura arcului $B C$ : $12 0^{\circ}$ .

Răspuns: d) $12 0^{\circ}$

Exercițiul 4

În figura alăturată, $A C$ este diametrul cercului de centru $O$ , punctul $B$ este pe cerc, $B \neq = A, C$ , iar $∠ B A C = 3 5^{\circ}$ . Calculează măsura unghiului $A C B$ .

Indiciu

Unghi înscris pe diametru.

Rezolvare

$∠ A B C$ este înscris și subîntinde semicercul $A C$ , deci $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ .
În $△ A B C$ : $∠ A C B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$ .

Răspuns: $5 5^{\circ}$

Exercițiul 5

Punctele $A$ , $B$ , $C$ sunt pe cercul de centru $O$ , iar $∠ A O B = 14 0^{\circ}$ (arcul mic $A B$ are $14 0^{\circ}$ ). Dacă $C$ se află pe arcul mare $A B$ , măsura unghiului $∠ A C B$ este: a) $3 5^{\circ}$ ; b) $7 0^{\circ}$ ; c) $14 0^{\circ}$ ; d) $22 0^{\circ}$ .

Indiciu

Unghiul înscris este jumătate din arcul subîntins.

Rezolvare

$∠ A C B$ este înscris și subîntinde arcul mic $A B$ de $14 0^{\circ}$ .
$∠ A C B = \frac{14 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$ .

Răspuns: b) $7 0^{\circ}$

Exercițiul 6

În figura alăturată, coarda $A B = 16$ cm este într-un cerc de centru $O$ și rază $10$ cm. Calculează distanța de la $O$ la coarda $A B$ .

Indiciu

Perpendiculara din centru pe coardă o înjumătățește.

Rezolvare

Fie $O M ⊥ A B$ ; $M$ este mijlocul lui $A B$ , deci $A M = 8$ cm.
$O M^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 36$ , deci $O M = 6$ cm.

Răspuns: $6$ cm

Exercițiul 7

Pătratul $A B C D$ , cu latura de $62$ cm, este înscris într-un cerc. Lungimea cercului este: a) $6 π$ cm; b) $12 π$ cm; c) $122 π$ cm; d) $24 π$ cm.

Indiciu

Diagonala pătratului este diametrul cercului.

Rezolvare

$d = l 2 = 62 \cdot 2 = 12$ cm, deci $R = 6$ cm.
$L = 2 π R = 12 π$ cm.

Răspuns: b) $12 π$ cm

Exercițiul 8

Punctele $A, B, C, D$ sunt pe un cerc cu diametrul $A D = 20$ cm, astfel încât arcele $A B$ , $B C$ și $C D$ sunt congruente. Aria triunghiului $A B D$ este: a) $253$ cm $^{2}$ ; b) $50$ cm $^{2}$ ; c) $503$ cm $^{2}$ ; d) $1003$ cm $^{2}$ .

Indiciu

Cele trei arce au câte $6 0^{\circ}$ ; $∠ A B D = 9 0^{\circ}$ .

Rezolvare

Arcul $A B$ are $6 0^{\circ}$ , deci $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ (înscris). $∠ A B D = 9 0^{\circ}$ (pe diametru).
În $△ A B D$ : $A B = \frac{A D}{2} = 10$ cm (cateta opusă unghiului de $3 0^{\circ}$ ), $B D = 103$ cm.
$A = \frac{10 \cdot 10 3}{2} = 503$ cm $^{2}$ .

Răspuns: c) $503$ cm $^{2}$

Exercițiul 9

În figura alăturată este reprezentat hexagonul regulat $A B C D E F$ cu latura de $6$ cm. Lungimea diagonalei $A C$ este egală cu: a) $62$ cm b) $63$ cm c) $9$ cm d) $12$ cm

Indiciu

Triunghiul $A B C$ este isoscel cu unghiul de la vârf de $12 0^{\circ}$ ; coboară înălțimea din $B$ .

Rezolvare

Unghiul interior al hexagonului regulat are $12 0^{\circ}$ , deci $△ A B C$ este isoscel cu $∠ B = 12 0^{\circ}$ și $A B = B C = 6$ cm.
Fie $B M ⊥ A C$ , $M \in A C$ : $∠ A B M = 6 0^{\circ}$ , deci $A M = A B \cdot \frac{3}{2} = 33$ cm ( $△ A B M$ are unghiurile $3 0^{\circ}$ – $6 0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ și $B M = 3$ cm).
$A C = 2 \cdot A M = 63$ cm.

Răspuns: b) $63$ cm

Exercițiul 10

În figura alăturată, cercul de centru $O$ are raza de $6$ cm, iar $P A$ și $P B$ sunt tangente la cerc în $A$ , respectiv $B$ , cu $O P = 10$ cm. Aria patrulaterului $O A P B$ este egală cu: a) $24$ cm $^{2}$ b) $48$ cm $^{2}$ c) $60$ cm $^{2}$ d) $96$ cm $^{2}$

Indiciu

Tangenta este perpendiculară pe rază; patrulaterul se împarte în două triunghiuri dreptunghice congruente.

Rezolvare

Tangenta este perpendiculară pe rază, deci $△ O A P$ este dreptunghic în $A$ : $P A^{2} = O P^{2} - O A^{2} = 100 - 36 = 64$ , $P A = 8$ cm.
$A_{O A P} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ cm $^{2}$ .
$△ O B P \equiv △ O A P$ , deci $A_{O A P B} = 2 \cdot 24 = 48$ cm $^{2}$ .

Răspuns: b) $48$ cm $^{2}$

Exercițiul 11

În figura alăturată, triunghiul echilateral $A B C$ cu latura de $12$ cm este înscris în cercul de centru $O$ . Lungimea cercului este egală cu: a) $43 π$ cm b) $83 π$ cm c) $12 π$ cm d) $24 π$ cm

Indiciu

Înălțimea triunghiului echilateral este $\frac{l 3}{2}$ ; $R$ este $\frac{2}{3}$ din ea.

Rezolvare

Înălțimea $A D = \frac{12 3}{2} = 63$ cm.
Centrul cercului circumscris este centrul de greutate: $R = A O = \frac{2}{3} A D = 43$ cm.
$L = 2 π R = 83 π$ cm.

Răspuns: b) $83 π$ cm

Exercițiul 12

În figura alăturată este reprezentat pătratul $A B C D$ cu latura de $8$ cm, cercul înscris în pătrat și cercul circumscris pătratului (cele două cercuri au același centru $O$ ). Aria suprafeței cuprinse între cele două cercuri este egală cu: a) $16 π$ cm $^{2}$ b) $32 π$ cm $^{2}$ c) $48 π$ cm $^{2}$ d) $64 π$ cm $^{2}$

Indiciu

Cele două cercuri au același centru, $O$ , intersecția diagonalelor.

Rezolvare

Cercul înscris: $r = \frac{8}{2} = 4$ cm. Cercul circumscris: diametrul este diagonala $82$ cm, deci $R = 42$ cm.
$A = π R^{2} - π r^{2} = π (32 - 16) = 16 π$ cm $^{2}$ .

Răspuns: a) $16 π$ cm $^{2}$

Exercițiul 13

În figura alăturată, dreapta $Δ$ se află la distanța de $3$ cm de centrul $O$ al unui cerc cu raza de $5$ cm. Numărul punctelor comune ale dreptei și cercului este: a) $0$ ; b) $1$ ; c) $2$ ; d) infinit.

Indiciu

Compară distanța de la centru la dreaptă cu raza.

Rezolvare

$d = 3$ cm și $r = 5$ cm, deci $d < r$ .
Dreapta este secantă, deci are $2$ puncte comune cu cercul. (Coarda determinată are lungimea $2 5^{2} - 3^{2} = 8$ cm.)

Răspuns: c) $2$

Exercițiul 14

Cercurile de centre $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele de $8$ cm, respectiv $3$ cm, iar distanța dintre centre este $O_{1} O_{2} = 11$ cm. Cele două cercuri sunt: a) exterioare; b) tangente exterior; c) secante; d) tangente interior.

Indiciu

Compară $O_{1} O_{2}$ cu $R + r$ și cu $R - r$ .

Rezolvare

$R + r = 8 + 3 = 11$ cm și $R - r = 8 - 3 = 5$ cm.
$O_{1} O_{2} = 11 = R + r$ , deci cercurile sunt tangente exterior.

Răspuns: b) tangente exterior

Exercițiul 15

Cercurile de centre $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele de $9$ cm, respectiv $4$ cm și sunt tangente interior. Distanța dintre centre $O_{1} O_{2}$ este egală cu: a) $4$ cm; b) $5$ cm; c) $13$ cm; d) $36$ cm.

Indiciu

La tangența interioară, distanța dintre centre este diferența razelor.

Rezolvare

Cercuri tangente interior: $O_{1} O_{2} = R - r$ .
$O_{1} O_{2} = 9 - 4 = 5$ cm. (Suma $9 + 4 = 13$ ar fi pentru tangența exterioară.)

Răspuns: b) $5$ cm

Exercițiul 16

Cercurile de centre $O_{1}$ și $O_{2}$ au razele de $7$ cm, respectiv $5$ cm și sunt secante. Distanța dintre centre poate fi egală cu: a) $1$ cm; b) $2$ cm; c) $6$ cm; d) $12$ cm.

Indiciu

Secante înseamnă $R - r < d < R + r$ .

Rezolvare

$R - r = 7 - 5 = 2$ cm și $R + r = 7 + 5 = 12$ cm.
Cercuri secante: $2 < O_{1} O_{2} < 12$ . Dintre variante, doar $6$ verifică ( $1$ cm: interioare; $2$ cm: tangente interior; $12$ cm: tangente exterior).

Răspuns: c) $6$ cm

Exercițiul 17

În figura alăturată, $P A$ și $P B$ sunt tangente la cercul de centru $O$ în punctele $A$ , respectiv $B$ , iar $∠ A P B = 5 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $∠ A O B$ este: a) $4 0^{\circ}$ ; b) $6 5^{\circ}$ ; c) $13 0^{\circ}$ ; d) $31 0^{\circ}$ .

Indiciu

Tangenta este perpendiculară pe rază; suma unghiurilor patrulaterului $O A P B$ este $36 0^{\circ}$ .

Rezolvare

$O A ⊥ P A$ și $O B ⊥ P B$ , deci $∠ O A P = ∠ O B P = 9 0^{\circ}$ .
În patrulaterul $O A P B$ : $∠ A O B = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .

Răspuns: c) $13 0^{\circ}$

Exercițiul 18

În figura alăturată, cercul de centru $O$ are raza de $6$ cm, iar $P A$ și $P B$ sunt tangente la cerc în $A$ , respectiv $B$ , cu $O P = 12$ cm. a) Calculează lungimea tangentei $P A$ . b) Demonstrează că triunghiul $P A B$ este echilateral. c) Calculează perimetrul triunghiului $P A B$ .

Indiciu

Triunghiul $O A P$ este dreptunghic în $A$ și are o catetă egală cu jumătate din ipotenuză.

Rezolvare

a) $O A ⊥ P A$ , deci în triunghiul dreptunghic $O A P$ : $P A^{2} = O P^{2} - O A^{2} = 144 - 36 = 108$ , deci $P A = 63$ cm.
b) În triunghiul dreptunghic $O A P$ avem $O A = 6 = \frac{O P}{2}$ , deci $∠ O P A = 3 0^{\circ}$ (reciproca teoremei unghiului de $3 0^{\circ}$ ). Cum $O P$ este bisectoarea unghiului $∠ A P B$ , rezultă $∠ A P B = 2 \cdot 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
Tangentele duse din $P$ sunt congruente, $P A = P B$ . Triunghiul $P A B$ este isoscel cu un unghi de $6 0^{\circ}$ , deci este echilateral.
c) $A B = P A = P B = 63$ cm, deci $P_{P A B} = 3 \cdot 63 = 183$ cm.

Răspuns: a) $P A = 63$ cm; b) demonstrație ( $∠ A P B = 6 0^{\circ}$ , $P A = P B$ ); c) $183$ cm

Exercițiul 19

În cercul de centru $O$ și rază $13$ cm, diametrul $C D$ este perpendicular pe coarda $A B = 24$ cm în punctul $M$ , iar $C$ se află pe arcul mic $A B$ . Lungimea segmentului $C M$ este egală cu: a) $5$ cm; b) $8$ cm; c) $12$ cm; d) $18$ cm.

Indiciu

Diametrul perpendicular pe o coardă o înjumătățește: $A M = 12$ cm.

Rezolvare

$C D ⊥ A B$ , deci $M$ este mijlocul coardei: $A M = \frac{24}{2} = 12$ cm.
În triunghiul dreptunghic $O M A$ : $O M = O A^{2} - A M^{2} = 169 - 144 = 5$ cm.
$C$ este pe cerc, deci $O C = 13$ cm, iar $O$ , $M$ , $C$ sunt coliniare, cu $M$ între $O$ și $C$ : $C M = O C - O M = 13 - 5 = 8$ cm.

Răspuns: b) $8$ cm

Exercițiul 20

Punctele $A$ , $B$ , $D$ , $C$ sunt, în această ordine, pe un cerc de centru $O$ , coardele $A B$ și $C D$ sunt paralele, arcul mic $A B$ are $12 0^{\circ}$ , iar arcul mic $A C$ are $4 0^{\circ}$ . Măsura unghiului $∠ C A D$ este: a) $4 0^{\circ}$ ; b) $6 0^{\circ}$ ; c) $8 0^{\circ}$ ; d) $16 0^{\circ}$ .

Indiciu

Arcele cuprinse între coarde paralele sunt congruente. Apoi calculează arcul $C D$ din suma de $36 0^{\circ}$ .

Rezolvare

Cum $A B ∥ C D$ , arcele dintre coarde sunt congruente: arcul $B D$ = arcul $A C$ = $4 0^{\circ}$ .
Cele patru arce $A B$ , $B D$ , $D C$ , $C A$ dau împreună $36 0^{\circ}$ , deci arcul $C D = 36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 16 0^{\circ}$ .
$∠ C A D$ este unghi înscris care subîntinde arcul $C D$ (care nu conține $A$ ): $∠ C A D = \frac{16 0 ^{\circ}}{2} = 8 0^{\circ}$ .

Răspuns: c) $8 0^{\circ}$

Exercițiul 21

În figura alăturată, coardele $A B$ și $C D$ ale cercului de centru $O$ și rază $5$ cm sunt egal depărtate de centru, la distanța de $3$ cm ( $O M ⊥ A B$ , $O N ⊥ C D$ , $O M = O N = 3$ cm). Suma lungimilor $A B + C D$ este egală cu: a) $8$ cm; b) $12$ cm; c) $16$ cm; d) $20$ cm.

Indiciu

Calculează $A M$ în triunghiul dreptunghic $O M A$ ; coardele egal depărtate sunt congruente.

Rezolvare

În triunghiul dreptunghic $O M B$ : $M B = O B^{2} - O M^{2} = 25 - 9 = 4$ cm, iar $M$ este mijlocul coardei, deci $A B = 2 \cdot 4 = 8$ cm.
Coardele egal depărtate de centru sunt congruente, deci $C D = A B = 8$ cm.
$A B + C D = 8 + 8 = 16$ cm.

Răspuns: c) $16$ cm

Exercițiul 22

Hexagonul regulat $A B C D E F$ este înscris într-un cerc cu lungimea de $20 π$ cm. Perimetrul hexagonului este egal cu: a) $10$ cm; b) $20$ cm; c) $60$ cm; d) $603$ cm.

Indiciu

Afli raza din lungimea cercului; latura hexagonului regulat înscris este egală cu raza.

Rezolvare

$2 π R = 20 π$ , deci $R = 10$ cm.
La hexagonul regulat înscris, $l = R = 10$ cm.
$P = 6 l = 60$ cm.

Răspuns: c) $60$ cm

Exercițiul 23

Un hexagon regulat are apotema de $33$ cm. Aria hexagonului este egală cu: a) $273$ cm $^{2}$ ; b) $543$ cm $^{2}$ ; c) $1083$ cm $^{2}$ ; d) $363$ cm $^{2}$ .

Indiciu

Apotema hexagonului este $\frac{R 3}{2}$ , unde $R$ este și latura hexagonului.

Rezolvare

$a = \frac{R 3}{2} = 33$ , deci $R = 6$ cm și $l = 6$ cm.
$A = \frac{3 R ^{2} 3}{2} = \frac{3 \cdot 36 3}{2} = 543$ cm $^{2}$ . (Verificare: $\frac{P \cdot a}{2} = \frac{36 \cdot 3 3}{2} = 543$ .)

Răspuns: b) $543$ cm $^{2}$

Exercițiul 24

Triunghiul echilateral $A B C$ este înscris într-un cerc cu aria discului de $48 π$ cm $^{2}$ . a) Calculează raza cercului. b) Calculează latura triunghiului. c) Calculează aria porțiunii din disc care se află în afara triunghiului $A B C$ .

Indiciu

La triunghiul echilateral înscris, $l = R 3$ .

Rezolvare

a) $π R^{2} = 48 π$ , deci $R^{2} = 48$ și $R = 43$ cm.
b) $l = R 3 = 43 \cdot 3 = 12$ cm.
c) $A_{A B C} = \frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{144 3}{4} = 363$ cm $^{2}$ .
Aria căutată: $A_{d i sc} - A_{A B C} = 48 π - 363$ cm $^{2}$ .

Răspuns: a) $43$ cm; b) $12$ cm; c) $(48 π - 363)$ cm $^{2}$

Exercițiul 25

Hexagonul regulat $A B C D E F$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $12$ cm. Lungimea arcului mic $A B$ este egală cu: a) $2 π$ cm; b) $4 π$ cm; c) $6 π$ cm; d) $12 π$ cm.

Indiciu

Arcul mic $A B$ este a șasea parte din cerc.

Rezolvare

Vârfurile hexagonului împart cercul în $6$ arce congruente, deci arcul mic $A B$ are $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ .
$ℓ = \frac{π R n}{180} = \frac{π \cdot 12 \cdot 60}{180} = 4 π$ cm. (Echivalent: $\frac{2 π \cdot 12}{6} = 4 π$ cm.)

Răspuns: b) $4 π$ cm

Exercițiul 26

Pătratul $A B C D$ este înscris în cercul de centru $O$ și rază $62$ cm. a) Calculează latura pătratului. b) Calculează aria pătratului. c) Calculează aria suprafeței cuprinse între cerc și pătrat (aria discului minus aria pătratului).

Indiciu

Diagonala pătratului este diametrul cercului.

Rezolvare

a) Diagonala pătratului este diametrul: $A C = 2 R = 122$ cm. Din $A C = l 2$ obținem $l = \frac{12 2}{2} = 12$ cm.
b) $A_{A B C D} = l^{2} = 144$ cm $^{2}$ .
c) $A_{d i sc} = π R^{2} = π \cdot 72 = 72 π$ cm $^{2}$ , deci aria căutată este $72 π - 144 = 72 (π - 2)$ cm $^{2}$ .

Răspuns: a) $12$ cm; b) $144$ cm $^{2}$ ; c) $(72 π - 144)$ cm $^{2}$

Exercițiul 27

Cercurile de același centru $O$ au razele de $13$ cm și $5$ cm. Coarda $A B$ a cercului mare este tangentă cercului mic în punctul $T$ . a) Arată că $T$ este mijlocul coardei $A B$ . b) Calculează lungimea coardei $A B$ . c) Calculează aria coroanei circulare (suprafața dintre cele două cercuri).

Indiciu

Tangenta la cercul mic este perpendiculară pe raza $O T$ . Folosește apoi Pitagora în triunghiul $O T B$ .

Rezolvare

a) $A B$ este tangentă cercului mic în $T$ , deci $O T ⊥ A B$ . Perpendiculara din centrul cercului mare pe coarda $A B$ trece prin mijlocul coardei, deci $A T = T B$ .
b) În triunghiul dreptunghic $O T B$ : $T B = O B^{2} - O T^{2} = 169 - 25 = 12$ cm, deci $A B = 2 \cdot 12 = 24$ cm.
c) $A = π \cdot 1 3^{2} - π \cdot 5^{2} = 169 π - 25 π = 144 π$ cm $^{2}$ .

Răspuns: a) demonstrație; b) $24$ cm; c) $144 π$ cm $^{2}$

Cum apare la examen

Subiectul I / II (calcul). Lungimea cercului din diametru ( $d = 22$ cm ⇒ $L = 22 π$ cm), diametrul din lungimea cercului ( $L = 24 π$ cm ⇒ $d = 24$ cm), uneori aria discului. Se cere atenție doar la rază/diametru și la ce se cere (lungime sau arie).
Subiectul II (grilă) – unghiuri și arce. Cel mai frecvent tip de itemi cu cerc: arcele congruente determinate de $3$ , $4$ sau $8$ puncte (unghi la centru $12 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ ); unghi înscris dat și unghi la centru cerut (sau invers, de exemplu $∠ A C D = 5 5^{\circ}$ ⇒ $∠ D O B = 7 0^{\circ}$ când $A B$ e diametru); unghi înscris pe diametru ( $∠ A B C = 9 0^{\circ}$ când $A$ , $O$ , $C$ sunt coliniare); triunghi echilateral înscris cu $B D$ diametru ( $∠ A C D = 3 0^{\circ}$ ); triunghi isoscel înscris cu $∠ A O C = 14 0^{\circ}$ ( $∠ B A C = 7 0^{\circ}$ ).
Subiectul II (grilă) – calcule în configurații. Cercul de centru $O$ cu diametre perpendiculare (distanța de la un capăt la o coardă cu Pitagora); coarda $A B$ într-un cerc cu diametrul $B C = 10$ cm și arcul $A C$ de $12 0^{\circ}$ (obții $A B = 5$ cm, triunghi $3 0^{\circ}$ – $6 0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ ); pătrat înscris într-un cerc, patru puncte care împart cercul în arce egale și diagonala $A C = 12$ cm dată (lungimea cercului $12 π$ cm); aria triunghiului $A B D$ cu $A D$ diametru și arce congruente; triunghi $A M B$ cu $A B = 82$ cm înscris într-un cerc de rază $8$ cm (unghiul $A M B = 4 5^{\circ}$ ).
Subiectul II (grilă) – tangente și poziții relative. Tangentele $P A$ , $P B$ dintr-un punct exterior (lungimea $P A = O P^{2} - r^{2}$ , unghiul $∠ A O B = 18 0^{\circ} - ∠ A P B$ , perimetrul sau aria patrulaterului $O A P B$ ); poziția a două cercuri după raze și distanța dintre centre (tangente exterior $d = R + r$ , tangente interior $d = R - r$ ); numărul de puncte comune ale unei drepte cu un cerc (compari $d$ cu $r$ ).
Subiectul II/III – hexagon regulat și coarde. Hexagon regulat înscris ( $l = R$ , perimetrul $6 R$ , aria $\frac{3 R ^{2} 3}{2}$ , apotema $\frac{R 3}{2}$ ); lungimea unui arc ( $\frac{2 π R}{n}$ pentru o latură); coarda tangentă cercului mic din două cercuri concentrice (Pitagora, $A B = 2 R^{2} - r^{2}$ ) și aria coroanei circulare; aria dintre cerc și poligonul înscris (aria discului minus aria poligonului).

Solvit Cercul și poligoane regulate: Exerciții de clasa a 7-a

Exerciții de clasa a 7-a

Grile la nivelul clasei în care se învață tema, cu verificare automată și rezolvare pas cu pas. Sunt 24 de exerciții.

0 din 24 rezolvate

Ușor 10 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Mediu 10 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Mai greu 4 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Solvit Cercul și poligoane regulate: Probleme din subiectele de examen

Din subiectele de examen

Subiecte reale (Examen, Rezervă, Simulări, Modele), grupate pe subiect. Figurile sunt în PDF-ul original.

Subiectul II grilă, 8 probleme

EN 2025, Sesiune specială 3, Subiect II.5

EN 2023, Examen 1, Subiect II.5

EN 2021, Rezervă 2, Subiect II.5

EN 2026, Rezervă 5, Subiect II.5

Aici vezi 8 dintre cele 51 probleme de examen ale lecției. Restul sunt în platforma completă.

Testează-te

Am ales 0 probleme la întâmplare, cu prioritate cele la care te-ai blocat. Ai marcat 0 din 0.