7 fișe din 59

Formule rapide

Fiecare formă, cu desenul ei și formulele esențiale, pentru cele 4 lecții demo. Notațiile din formule sunt aceleași ca în desen.

Solvit Formule rapide

Triunghiuri

Solvit Formule rapide

Triunghiul dreptunghic

Vezi lecția

Teorema lui Pitagora: $a^{2} = b^{2} + c^{2}$
Reciproca: $a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow ∠ A = 9 0^{\circ}$
Aria: $A = \frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$
Înălțimea: $h = \frac{b \cdot c}{a}$
Teorema înălțimii: $h^{2} = m \cdot n$
Teorema catetei: $c^{2} = m \cdot a, b^{2} = n \cdot a$
Mediana la ipotenuză: $A M = \frac{a}{2}$
Raza cercului circumscris: $R = \frac{a}{2}$
Raza cercului înscris: $r = \frac{b + c - a}{2}$
Suma unghiurilor: $9 0^{\circ} + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠ B + ∠ C = 9 0^{\circ}$
Reciproca medianei ( $A M = \frac{B C}{2}$ , $M$ mijlocul lui $[B C]$ ): $∠ A = 9 0^{\circ}$

Ipotenuza $a = B C$ este latura opusă unghiului drept; $m = B D$ , $n = D C$ sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză, $a = m + n$ .
$M$ = mijlocul ipotenuzei; centrul cercului circumscris.
Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză; și reciproc: dacă o mediană este jumătate din latura pe care cade, unghiul opus acelei laturi este drept.

Cerc și poligoane regulate

Solvit Formule rapide

Cercul

Vezi lecția

Rază, diametru, tangentă

Coarda și distanța de la centru

Unghi la centru și unghi înscris

Unghi înscris pe diametru

Tangentele $P A$ și $P B$ : $P A = P B$ , $O A ⊥ P A$ , $O B ⊥ P B$ , iar $O P ⊥ A B$ în mijlocul $M$ al coardei $A B$ .

$C D ⊥ A B$ : $A M = M B$ și arcele $A C$ , $C B$ sunt congruente.

$A B ∥ C D$ : arcele $A C$ și $B D$ sunt congruente.

$O M = O N$ (perpendicularele din $O$ ): $A B = C D$ .

Secantă: $d < r$ , două puncte comune $A$ , $B$ .

Tangentă: $d = r$ , un singur punct comun $T$ .

Exterioară: $d > r$ , niciun punct comun.

Lungimea cercului: $L = 2 π r$
Aria discului: $A = π r^{2}$
Diametrul: $d = 2 r$
Unghi la centru: $m (∠ A O B) = m (A B)$
Unghi înscris: $m (∠ A C B) = \frac{m ( A B )}{2}$
Unghi înscris pe diametru: $A B diametru \Rightarrow m (∠ A C B) = 9 0^{\circ}$
Tangenta: $t ⊥ O T$
Coarda și distanța: $O M ⊥ C D \Rightarrow C M = M D = \frac{c}{2}$
Raza din coardă: $r^{2} = d^{2} + (\frac{c}{2})^{2}$
Unghiul plin în jurul centrului: $36 0^{\circ}$
Tangentele din $P$ exterior: $P A = P B$
Lungimea tangentei (Pitagora în $△ O A P$ ): $P A^{2} = O P^{2} - r^{2}$
$O P$ bisectoarea unghiului $∠ A O B$: $m (∠ A O P) = m (∠ B O P)$
Patrulaterul $O A P B$: $m (∠ A O B) + m (∠ A P B) = 18 0^{\circ}$
$O P$ și coarda $A B$ ( $M = O P \cap A B$ ): $A M = M B$
Coarda la distanța $d$ de centru: $A B = 2 r^{2} - d^{2}$
Coarde egal depărtate de centru ( $O M = O N$ ): $A B = C D$
Arce congruente: $A B = C D$
Diametrul $C D ⊥ A B$: $m (A C) = m (C B)$
Coarde paralele $A B ∥ C D$: $m (A C) = m (B D)$
Dreaptă secantă cercului: $d (O, Δ) < r$
Dreaptă tangentă cercului: $d (O, Δ) = r$
Dreaptă exterioară cercului: $d (O, Δ) > r$

Dreapta și cercul

$Pozi ț ia dreptei$	$Condi ț ia$	$Puncte comune$	$Ce re ț inem$
$Secant \overset{a}{˘}$	$d < r$	$2$	$coarda A B, A M = r^{2} - d^{2}$
$Tangent \overset{a}{˘}$	$d = r$	$1$	$tangenta ⊥ raza O T$
$Exterioar \overset{a}{˘}$	$d > r$	$0$	$nu atinge cercul$

Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc
Tangenta într-un punct este perpendiculară pe raza dusă în acel punct
Perpendiculara din centru pe coardă o înjumătățește
Din $P$ exterior: $P A = P B$ , $O P$ este bisectoare și $O P ⊥ A B$ ; lungimea tangentei se află din $△ O A P$ .
Două coarde sunt congruente exact când sunt egal depărtate de centru; cea mai apropiată de centru este mai lungă.
Poziția dreptei față de cerc: compari distanța $d$ de la centru la dreaptă cu raza $r$ .

Solvit Formule rapide

Hexagonul regulat

Vezi lecția

Latura și raza: $a = R$
Perimetrul: $P = 6 a$
Apotema: $a_{b} = \frac{a 3}{2}$
Aria: $A = \frac{3 a ^{2} 3}{2}$
Diagonala mare: $A D = 2 a$
Unghi interior: $m (∠ A) = 12 0^{\circ}$
Suma unghiurilor: $6 \cdot 12 0^{\circ} = 72 0^{\circ} = (6 - 2) \cdot 18 0^{\circ}$

Hexagonul se împarte în 6 triunghiuri echilaterale de latură $a$
Aria = de 6 ori aria unui triunghi echilateral: $6 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4}$
Apotema este înălțimea unui triunghi echilateral

Solvit Formule rapide

Poligoane înscrise în cerc

Vezi lecția

Triunghi echilateral înscris

Pătrat înscris

Hexagon regulat înscris: $△ A O B$ echilateral, $l = R$ , $a = O M = \frac{R 3}{2}$

Triunghi: latura: $l = R 3$
Triunghi: apotema: $r = \frac{R}{2}$
Triunghi: aria: $A = \frac{3 R ^{2} 3}{4}$
Pătrat: latura: $l = R 2$
Pătrat: apotema: $r = \frac{R 2}{2}$
Pătrat: diagonala: $d = 2 R$
Pătrat: aria: $A = 2 R^{2}$
Suma unghiurilor: $triunghi: 3 \cdot 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}, p \overset{a}{˘} trat: 4 \cdot 9 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$
Triunghi: perimetrul: $P = 3 R 3$
Pătrat: perimetrul: $P = 4 R 2$
Hexagon: latura: $l = R$
Hexagon: apotema: $r = \frac{R 3}{2}$
Hexagon: perimetrul: $P = 6 R$
Hexagon: aria (6 triunghiuri echilaterale de latură $R$ ): $A = \frac{3 R ^{2} 3}{2}$
Arcul subîntins de o latură ( $n$ laturi): $ℓ = \frac{2 π R}{n}$

Triunghiul echilateral: centrul cercului este și centrul de greutate, $R = \frac{2}{3} h$ și $r = \frac{1}{3} h$
Diagonala pătratului înscris este diametru al cercului
Raza este distanța de la centru la vârf, apotema la mijlocul laturii
Ordinea: la triunghi $l = R 3 > R$ , la pătrat $l = R 2$ , la hexagon $l = R$ (latura egală cu raza).
Hexagonul regulat se desparte în $6$ triunghiuri echilaterale cu latura $R$ ; apotema este înălțimea unuia dintre ele.

Solvit Formule rapide

Poziții relative a două cercuri

Vezi lecția

Exterioare: $O_{1} O_{2} > R + r$ .

Tangente exterior: $O_{1} O_{2} = R + r$ .

Secante: $R - r < O_{1} O_{2} < R + r$ .

Tangente interior: $O_{1} O_{2} = R - r$ .

Interioare: $0 < O_{1} O_{2} < R - r$ .

Concentrice: $O_{1} = O_{2}$ .

Cercuri exterioare: $O_{1} O_{2} > R + r$
Tangente exterior: $O_{1} O_{2} = R + r$
Cercuri secante: $R - r < O_{1} O_{2} < R + r$
Tangente interior: $O_{1} O_{2} = R - r$
Cercuri interioare: $0 < O_{1} O_{2} < R - r$
Cercuri concentrice: $O_{1} O_{2} = 0$
Punctul de tangență $T$ ( $T \in$ dreapta centrelor): $O_{1} T + T O_{2} = O_{1} O_{2}$

Două cercuri

$Pozi ț ia cercurilor$	$Distan ț a dintre centre$	$Puncte comune$
$Exterioare$	$d > R + r$	$0$
$Tangente exterior$	$d = R + r$	$1$
$Secante$	$R - r < d < R + r$	$2$
$Tangente interior$	$d = R - r$	$1$
$Interioare$	$0 < d < R - r$	$0$
$Concentrice$	$d = 0$	$0 (R \neq = r)$

Notăm $d = O_{1} O_{2}$ și $R \geq r$ . Compari $d$ cu suma $R + r$ și cu diferența $R - r$ .
La tangența interioară $d = R - r$ (nu $R + r$ ). La cea exterioară $d = R + r$ .
Punctul de tangență se află pe dreapta centrelor, iar tangenta comună este perpendiculară pe ea.

Numere și calcul

Solvit Formule rapide

Puteri și radicali

Vezi lecția

Produs de puteri: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Cât de puteri: $a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$
Putere de putere: $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$
Produs la putere: $(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}$
Cât la putere: $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$
Produs de radicali ( $a, b \geq 0$ ): $a \cdot b = a \cdot b$
Cât de radicali ( $b > 0$ ): $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
Scoatere de sub radical: $a^{2} \cdot b = a b$
Radicali asemenea: $m a \pm n a = (m \pm n) a$
Produs de conjugați: $(a - b) (a + b) = a - b$
Raționalizare: $\frac{1}{a} = \frac{a}{a}$
Media aritmetică: $m_{a} = \frac{a + b}{2}$
Media geometrică ( $a, b \geq 0$ ): $m_{g} = a \cdot b$
Putere cu exponent zero ( $a \neq = 0$ ): $a^{0} = 1$
Putere cu exponent negativ ( $a \neq = 0$ ): $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
Scrierea științifică ( $1 \leq a < 10$ ): $N = a \cdot 1 0^{n}$
Introducere sub radical ( $a \geq 0$ ): $a b = a^{2} \cdot b$
Radical dintr-un pătrat: $a^{2} = ∣ a ∣$
Raționalizare cu coeficient: $\frac{a}{b c} = \frac{a c}{b \cdot c}$
Raționalizare: numitor $a + b$: $\frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}$
Raționalizare: numitor $a - b$: $\frac{1}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}$
Modulul unui număr real: $∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0$
Estimarea unui radical între pătrate perfecte: $a^{2} < n < (a + 1)^{2} \Rightarrow a < n < a + 1$

Nu aduna bazele: $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{5}$ , nu $4^{5}$ .
$(- 3)^{2} = 9$ , dar $- 3^{2} = - 9$ .
$a + b \neq = a + b$ : $9 + 16 = 5$ , dar $9 + 16 = 7$ .
Radicalii se adună doar dacă sunt asemenea: $23 + 53 = 73$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ , deci $(- 5)^{2} = 5$ .
Factorul intră sub radical la pătrat: $52 = 50$ , nu $10$ . Folosește-l la comparări: $27 = 28 > 27 = 33$ .
Conjugata lui $a + b$ este $a - b$ ; produsul lor este $a - b$ . La $\frac{a}{b c}$ amplifici cu $c$ , nu cu $b c$ .
$N \subset Z \subset Q \subset R$ ; iraționalele ( $2, π$ ) sunt în $R$ , dar nu în $Q$ .

Reper cartezian și funcții

Solvit Formule rapide

Reperul cartezian

Vezi lecția

Distanța dintre două puncte: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$
Mijlocul segmentului: $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$
Simetricul față de $O x$: $(x, y) \to (x, - y)$
Simetricul față de $O y$: $(x, y) \to (- x, y)$
Simetricul față de $O$: $(x, y) \to (- x, - y)$
Distanța la axe: $d (P, O x) = ∣ y ∣, d (P, O y) = ∣ x ∣$
Aria triunghiului cu catetele pe axe: $A = \frac{∣ x _{0} ∣ \cdot ∣ y _{0} ∣}{2}$

Distanța $A B$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic cu catetele $∣ x_{B} - x_{A} ∣$ și $∣ y_{B} - y_{A} ∣$ .
Pentru $P (x_{0}, y_{0})$ : $O$ și proiecțiile lui $P$ pe axe formează un triunghi dreptunghic cu catetele $∣ x_{0} ∣$ , $∣ y_{0} ∣$ .

În platforma completă găsești toate cele 59 fișe (corpuri în spațiu, patrulatere, trigonometrie și altele).