Calcul numeric

Puteri și radicali

Puterile cu exponent întreg, scrierea științifică și radicalii: scoaterea și introducerea factorilor, estimări (inclusiv pentru rapoarte și zecimale), incluziunile N⊂Z⊂Q⊂R, raționalizarea, media geometrică, modulul și demonstrarea că un număr este natural sau rațional.

Exemple rezolvate 7
Exerciții 25
Probleme din examene 53

Solvit Puteri și radicali: Teorie

Teorie

Video: Puteri și radicali. Explicația, în câteva minute.

Puterea este o prescurtare: $2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Radicalul este operația „înapoi”: dacă $6^{2} = 36$ , atunci $36 = 6$ . La examen cele două apar împreună — la Subiectul I (un calcul sau o comparare scurtă) și la Subiectul III (un număr cu radicali pe care trebuie să-l aduci la forma $a + b c$ sau să arăți că e natural).

Puterea cu exponent întreg

Pentru $a \neq = 0$ și $n$ număr natural nenul:

$a^{n} = n factori a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ , $a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ .

Exemple: $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ , $(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ , $5^{0} = 1$ .

Pătratul de latură a are aria a²: 1, 4, 9, 16 pătrățele unitate.

Regulile puterilor (aceeași bază sau același exponent)

Produs

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

Cât

a^{m} : a^{n} = a^{m - n}

Putere de putere

(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}

Produs la putere

(a \cdot b)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}

Cât la putere

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

Atenție

Nu aduna bazele! $2^{3} \cdot 2^{2} = 2^{3 + 2} = 2^{5} = 32$ , nu $4^{5}$ . Iar $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ (de exemplu $(1 + 2)^{2} = 9 \neq = 1 + 4$ ); formula corectă o înveți la calcul prescurtat. Încă o capcană: $(- 3)^{2} = 9$ , dar $- 3^{2} = - 9$ .

Puterile lui 10 și scrierea științifică. $1 0^{n}$ este $1$ urmat de $n$ zerouri; $1 0^{- n} = \frac{1}{1 0 ^{n}} = 0, 0 \dots 01$ . Un număr pozitiv este scris în notație științifică dacă are forma $a \cdot 1 0^{n}$ , cu $1 \leq a < 10$ și $n \in Z$ .

$45000000 = 4, 5 \cdot 1 0^{7}$ (mutăm virgula 7 locuri spre stânga), iar $0, 00072 = 7, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ (o mutăm 4 locuri spre dreapta, deci exponent negativ).

Produsul se face separat: $(3 \cdot 1 0^{4}) \cdot (2 \cdot 1 0^{- 6}) = 6 \cdot 1 0^{- 2} = 0, 06$ .

45 000 000 = 4,5·10⁷

0,00072 = 7,2·10⁻⁴

Radicalul (rădăcina pătrată)

Dacă $a \geq 0$ , $a$ este singurul număr pozitiv sau nul al cărui pătrat este $a$ . De aceea $a \geq 0$ și $(a)^{2} = a$ .

Numerele $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, \dots$ sunt pătrate perfecte; pentru ele $a$ este natural.

Pentru orice număr real $x$ : $x^{2} = ∣ x ∣$ . Exemplu: $(- 5)^{2} = 25 = 5 = ∣ - 5∣$ .

Aria 9: latura √9 = 3.

Pătratul înclinat are aria 9 − 4·1 = 5, deci latura √5.

Reguli de calcul cu radicali ( $a, b \geq 0$ )

Produs

a \cdot b = a \cdot b

Cât

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} (b > 0)

Scoatere de sub radical

a^{2} \cdot b = a b ex.: 48 = 16 \cdot 3 = 43

Introducere sub radical

a b = a^{2} \cdot b ex.: 32 = 18

Radicali asemenea

m a \pm n a = (m \pm n) a

Produs de conjugați

(a - b) (a + b) = a - b

√2 este diagonala pătratului de latură 1; √3 este ipotenuza triunghiului cu catetele √2 și 1. Arcele de cerc „aduc” lungimile pe axă.

Atenție

$a + b \neq = a + b$ și $a - b \neq = a - b$ . Verifică: $9 + 16 = 25 = 5$ , dar $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ . Radicalii se adună doar dacă sunt asemenea: $23 + 53 = 73$ , în timp ce $2 + 3$ nu se simplifică. De asemenea, $x^{2} = x$ doar dacă $x \geq 0$ : $(- 5)^{2} = 5$ , nu $- 5$ .

Cum scoți factorii de sub radical. Descompui numărul și cauți factori care sunt pătrate perfecte:

$72 = 36 \cdot 2 = 62$ , $75 = 25 \cdot 3 = 53$ , $18 = 32$ .

După scoatere, radicalii devin adesea asemenea și se reduc: $48 - 212 + 75 = 43 - 43 + 53 = 53$ .

Introducerea factorilor sub radical este operația inversă: ridici factorul din fața radicalului la pătrat și îl pui sub radical, înmulțit cu ce era acolo.

$32 = 3^{2} \cdot 2 = 18$ , $52 = 25 \cdot 2 = 50$ , $27 = 28$ .

Pasul se folosește mai ales ca să compari numere ( $27$ cu $33$ : $28 > 27$ ) sau ca să verifici o egalitate: $50 = 52$ pentru că $25 \cdot 2 = 50$ .

Pentru $864$ nu vezi imediat pătratul perfect? Descompune în factori primi: $864 = 2^{5} \cdot 3^{3} = (2^{2})^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2 \cdot 3$ , deci $864 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 6 = 126$ . Regula: din fiecare putere $p^{n}$ iese $p^{n : 2}$ (câtul), iar restul rămâne sub radical.

Atenție

Factorul se ridică la pătrat când intră sub radical: $52 = 50$ , nu $10$ și nici $25 \cdot 2$ . Invers, la scoatere se extrage rădăcina pătrată a pătratului perfect: $50 = 52$ , nu $252$ .

√2, √10 și √40 pe axă, între pătrate perfecte: 1 < √2 < 2, 3 < √10 < 4, 6 < √40 < 7.

Estimări și parte întreagă. Dacă $n^{2} \leq a < (n + 1)^{2}$ , atunci $n \leq a < n + 1$ .

Exemplu: $36 < 40 < 49$ , deci $6 < 40 < 7$ , iar partea întreagă a lui $40$ este $6$ .

Valori de reținut: $2 \approx 1, 41$ , $3 \approx 1, 73$ , $5 \approx 2, 24$ .

Compararea radicalilor. Pentru $a, b \geq 0$ : $a < b ⟺ a < b$ . Dacă apar și coeficienți, îi introduci sub radical: $32 = 18$ , $25 = 20$ , deci $32 < 25$ .

Estimarea rădăcinii pătrate dintr-un număr rațional. Metoda este aceeași: încadrezi numărul de sub radical între două pătrate perfecte consecutive. Când numărul este o fracție, scrii $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ și încadrezi doar numărătorul.

Exemplu: $\frac{20}{9} = \frac{20}{3}$ . Cum $16 < 20 < 25$ , avem $4 < 20 < 5$ , deci $\frac{4}{3} < \frac{20}{9} < \frac{5}{3}$ .

Pentru o zecimală încadrezi între pătratele unor zecimale vecine: $1, 5^{2} = 2, 25$ și $1, 6^{2} = 2, 56$ , iar $2, 25 < 2, 5 < 2, 56$ , deci $1, 5 < 2, 5 < 1, 6$ (valoarea reală este $\approx 1, 58$ ). Pentru încadrări mai fine, treci de la unități la zecimi, apoi la sutimi.

√2,5 se află între 1,5 și 1,6, pentru că 2,5 este între 1,5² = 2,25 și 1,6² = 2,56.

Numere raționale și iraționale

$n$ este număr irațional (zecimale infinite, neperiodice) atunci când $n$ nu este pătrat perfect: $2, 3, 10 \in R ∖ Q$ . Dacă $n$ este pătrat perfect, $n$ este natural.

Suma dintre un număr rațional și unul irațional este irațională ( $1 + 2 \in / Q$ ). Dar suma sau produsul a doi iraționali poate fi rațional: $2 \cdot 2 = 2$ , $(2 + 3) + (2 - 3) = 4$ , $(5 - 2) (5 + 2) = 1$ .

Mulțimile de numere sunt incluse una în alta: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Numerele iraționale (√2, π) sunt în ℝ, dar nu în ℚ.

Incluziunile $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Orice număr natural este întreg, orice întreg este rațional (de exemplu $- 3 = \frac{- 3}{1}$ ), iar orice rațional este real. Mulțimea numerelor reale se compune din raționale (zecimale finite sau periodice) și iraționale (zecimale infinite neperiodice): $R = Q \cup (R ∖ Q)$ .

Trei exemple: $16 = 4 \in N$ ; $\frac{9}{4} = \frac{3}{2} \in Q ∖ Z$ ; $10 \in R ∖ Q$ .

Modulul unui număr real: $∣ x ∣ = x$ dacă $x \geq 0$ și $∣ x ∣ = - x$ dacă $x < 0$ . Este distanța de la $x$ la $0$ pe axă și nu e niciodată negativ. Exemple: $∣ 2 - 3∣ = 3 - 2$ (pentru că $2 < 3$ ), $∣ 5 - 2∣ = 5 - 2$ .

De reținut: $n$ este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect (sau un raport de pătrate perfecte, ca $\frac{9}{4}$ sau $0, 25$ ). Radicalul unui număr negativ nu există în $R$ .

Raționalizarea numitorului

Nu lăsăm radicali la numitor.

Dacă numitorul este $b$ : amplificăm cu $b$ .
Dacă numitorul este $a \pm b$ (sau $c \pm b$ ): amplificăm cu conjugata lui, adică aceeași expresie cu semn schimbat în mijloc; la numitor apare $a - b$ (fără radicali).

Raționalizare — modele

Un radical

\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}, \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23

Cu conjugata

\frac{1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{3 + 1}{2}

Numitor

3 - 5

\frac{8}{3 - 5} = \frac{8 ( 3 + 5 )}{9 - 5} = 2 (3 + 5)

Alte două tipare des întâlnite.

• Numitor de forma $a b$ (cu coeficient): amplifici tot cu $b$ , nu cu $a b$ . $\frac{10}{2 5} = \frac{10 5}{2 \cdot 5} = 5$ .

• Numitor $a \pm b$ : conjugata este $a \mp b$ , iar numitorul devine $a - b$ . $\frac{4}{5 + 3} = \frac{4 ( 5 - 3 )}{5 - 3} = 2 (5 - 3)$ , iar $\frac{3}{6 - 3} = \frac{3 ( 6 + 3 )}{6 - 3} = 6 + 3$ .

După raționalizare simplifică fracția: de multe ori numitorul rămas se reduce cu un factor de la numărător.

Medii

Media aritmetică

m_{a} = \frac{a + b}{2}

Media geometrică (

a, b \geq 0

)

m_{g} = a \cdot b

Exemplu

a = 3 - 22, b = 3 + 22 : m_{a} = 3, m_{g} = 9 - 8 = 1

Media geometrică a numerelor 2 și 8 este latura pătratului cu aceeași arie ca dreptunghiul 2 × 8: √(2·8) = 4.

Media geometrică a două numere pozitive

Pentru $a, b > 0$ : $m_{g} = a \cdot b$ .

Ce înseamnă: $m_{g}$ este latura pătratului care are aceeași arie ca dreptunghiul cu laturile $a$ și $b$ (figura de mai sus: $2 \cdot 8 = 4$ ). Este și numărul $x$ pentru care $\frac{a}{x} = \frac{x}{b}$ , adică $x^{2} = ab$ (proporție cu mezii egali).

Proprietăți: $m_{g}$ este cuprinsă între cele două numere ( $a \leq m_{g} \leq b$ dacă $a \leq b$ ); dacă $a = b$ atunci $m_{g} = a$ ; și $m_{g} \leq m_{a}$ , cu egalitate doar când $a = b$ . Exemplu: pentru $2$ și $8$ , $m_{g} = 4 < m_{a} = 5$ .

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept este media geometrică a proiecțiilor catetelor pe ipotenuză: h = √(p·q) = √(2·8) = 4.

Media aritmetică ponderată a mai multor numere (fiecare cu ponderea ei) se studiază în lecția *statistica-probabilitati*, unde este explicată cu tabele de frecvențe și exerciții. Aici reții doar diferența: media geometrică se calculează cu radicalul din produs, pe când media aritmetică (simplă sau ponderată) se calculează cu sume.

Reține

Cum demonstrezi că un număr cu radicali este natural/rațional/întreg: (1) scoți factorii de sub radical și raționalizezi; (2) pentru $(\dots)^{2}$ folosești $x^{2} = ∣ x ∣$ și decizi semnul lui $x$ comparând cu un pătrat perfect (ex.: $3 < 2$ , deci $3 - 2 < 0$ și $3 - 2 = 2 - 3$ ); (3) reduci termenii asemenea; (4) la final radicalii trebuie să dispară.

Solvit Puteri și radicali: Exemple rezolvate

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Rezultatul calculului $(2^{3} \cdot 2^{5}) : 2^{6} + (- 3)^{2} - 5^{0}$ este: a) $8$ b) $12$ c) $14$ d) $- 6$

Vezi rezolvarea

$2^{3} \cdot 2^{5} = 2^{8}$ , iar $2^{8} : 2^{6} = 2^{2} = 4$ .
$(- 3)^{2} = 9$ (nu $- 9$ ) și $5^{0} = 1$ .
$4 + 9 - 1 = 12$ .
Variantele greșite: a) apare dacă $5^{0}$ se ia $5$ ; c) dacă $5^{0}$ se ia $- 1$ (adică se adună $1$ ); d) dacă $(- 3)^{2}$ se ia $- 9$ .

Răspuns: b) $12$

Exemplul 2

Rezultatul calculului $48 - 212 + 75$ este: a) $311$ b) $53$ c) $33$ d) $133$

Vezi rezolvarea

$48 = 43$ , $212 = 2 \cdot 23 = 43$ , $75 = 53$ .
$43 - 43 + 53 = 53$ .
Varianta a) vine din scrierea greșită $48 - 24 + 75 = 99$ : radicalii nu se scad sub radical.

Răspuns: b) $53$

Exemplul 3

Scrie fără radical la numitor numărul $\frac{6}{7 - 1}$ .

Vezi rezolvarea

Amplificăm cu conjugatul $7 + 1$ : $\frac{6 ( 7 + 1 )}{( 7 - 1 ) ( 7 + 1 )}$ .
Numitorul: $(7)^{2} - 1^{2} = 7 - 1 = 6$ .
Rezultatul: $\frac{6 ( 7 + 1 )}{6} = 7 + 1$ .

Răspuns: $7 + 1$

Exemplul 4

Patru elevi au comparat numere cu radicali, ca în tabelul de mai jos. Un singur elev a scris o afirmație adevărată. Acesta este: a) Ana b) Bogdan c) Cezar d) Dan

Vezi rezolvarea

Ana: $32 = 18 > 16 = 4$ , deci $32 < 4$ este falsă.
Bogdan: $25 = 20$ și $4, 5 = 20, 25$ ; cum $20 < 20, 25$ , avem $25 < 4, 5$ , deci afirmația este falsă.
Cezar: $45 > 36 = 6$ , deci este falsă.
Dan: $26 = 24 < 25 = 5$ , deci afirmația este adevărată.

Răspuns: d) Dan

Exemplul 5

Numărul $N = (3 - 2)^{2} + 12 - 3$ este egal cu: a) $23 - 2$ b) $2$ c) $4$ d) $23$

Vezi rezolvarea

$x^{2} = ∣ x ∣$ , deci $(3 - 2)^{2} = ∣ 3 - 2∣ = 2 - 3$ (pentru că $3 < 2$ ).
$12 = 23$ .
$N = 2 - 3 + 23 - 3 = 2$ .
Varianta a) apare dacă se uită modulul și se ia $3 - 2$ .

Răspuns: b) $2$

Exemplul 6

Încadrează numărul $\frac{20}{9}$ între două fracții cu numitorul $3$ și precizează partea sa întreagă.

Vezi rezolvarea

$\frac{20}{9} = \frac{20}{9} = \frac{20}{3}$ .
$16 < 20 < 25$ , deci $4 < 20 < 5$ .
Împărțim la $3$ : $\frac{4}{3} < \frac{20}{9} < \frac{5}{3}$ .
Cum $\frac{4}{3} = 1, 33 \dots$ și $\frac{5}{3} = 1, 66 \dots$ , numărul este între $1$ și $2$ , deci partea întreagă este $1$ .

Răspuns: $\frac{4}{3} < \frac{20}{9} < \frac{5}{3}$ ; partea întreagă este $1$

Exemplul 7

Arată că numărul $N = \frac{12}{2 3} - \frac{4}{3 + 1}$ este natural.

Vezi rezolvarea

Primul termen: $\frac{12}{2 3} = \frac{6}{3} = \frac{6 3}{3} = 23$ .
Al doilea: $\frac{4}{3 + 1} = \frac{4 ( 3 - 1 )}{3 - 1} = 2 (3 - 1) = 23 - 2$ .
$N = 23 - (23 - 2) = 2$ .
Radicalii s-au redus, iar $2 \in N$ .

Răspuns: $N = 2$ , deci $N \in N$

Solvit Puteri și radicali: Exerciții

Exersează

Exercițiul 1

Rezultatul calculului $(- 2)^{3} + 2^{4} - 3^{0}$ este: a) $7$ b) $8$ c) $23$ d) $24$

Indiciu

$(- 2)^{3} = - 8$ , iar $3^{0} = 1$ .

Rezolvare

$(- 2)^{3} = - 8$ (putere impară a unui număr negativ).
$2^{4} = 16$ și $3^{0} = 1$ .
$- 8 + 16 - 1 = 7$ .

Răspuns: a) $7$

Exercițiul 2

Rezultatul calculului $81 - 2 \cdot 9$ este: a) $3$ b) $6$ c) $15$ d) $21$

Indiciu

Radicalii dau numere naturale; apoi înmulțirea, apoi scăderea.

Rezolvare

$81 = 9$ și $9 = 3$ .
$9 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$ .

Răspuns: a) $3$

Exercițiul 3

Scris sub forma $a 5$ , numărul $45$ este: a) $95$ b) $35$ c) $53$ d) $15$

Indiciu

Descompune $45 = 9 \cdot 5$ .

Rezolvare

$45 = 9 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 35$ .

Răspuns: b) $35$

Exercițiul 4

Numărul $40$ aparține intervalului: a) $(4, 5)$ b) $[5, 6)$ c) $[6, 7)$ d) $[7, 8)$

Indiciu

Găsește pătratele perfecte dintre care se află $40$ .

Rezolvare

$36 < 40 < 49$ , deci $6 < 40 < 7$ .
Singurul interval care conține numere între $6$ și $7$ (și include $6$ ) este $[6, 7)$ .

Răspuns: c) $[6, 7)$

Exercițiul 5

Media geometrică a numerelor $23$ și $33$ este: a) $6$ b) $32$ c) $53$ d) $18$

Indiciu

$m_{g} = a \cdot b$ .

Rezolvare

$23 \cdot 33 = 6 \cdot (3)^{2} = 6 \cdot 3 = 18$ .
$m_{g} = 18 = 9 \cdot 2 = 32$ . (Varianta d) ar fi produsul, nu media; c) ar fi suma.)

Răspuns: b) $32$

Exercițiul 6

Calculează $75 + 12 - 33$ .

Indiciu

Scoate factorii de sub radical și adună radicalii asemenea.

Rezolvare

$75 = 53$ , $12 = 23$ .
$53 + 23 - 33 = 43$ .

Răspuns: $43$

Exercițiul 7

Prin raționalizarea numitorului, numărul $\frac{8}{3 - 5}$ devine: a) $3 + 5$ b) $6 + 25$ c) $6 - 25$ d) $24 + 85$

Indiciu

Amplifică cu conjugatul $3 + 5$ .

Rezolvare

$\frac{8 ( 3 + 5 )}{( 3 - 5 ) ( 3 + 5 )} = \frac{8 ( 3 + 5 )}{9 - 5}$ .
$= \frac{8 ( 3 + 5 )}{4} = 2 (3 + 5) = 6 + 25$ .

Răspuns: b) $6 + 25$

Exercițiul 8

Numărul $0, 00072$ scris în notație științifică este: a) $7, 2 \cdot 1 0^{- 3}$ b) $7, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ c) $72 \cdot 1 0^{- 5}$ d) $7, 2 \cdot 1 0^{4}$

Indiciu

Mută virgula după prima cifră nenulă și numără pozițiile.

Rezolvare

Virgula se mută cu $4$ poziții spre dreapta pentru a obține $7, 2$ .
Deci $0, 00072 = 7, 2 \cdot 1 0^{- 4}$ . Varianta c) nu este notație științifică ( $72$ nu este între $1$ și $10$ ).

Răspuns: b) $7, 2 \cdot 1 0^{- 4}$

Exercițiul 9

Ordinea crescătoare a numerelor $23, 3, 10, 32$ este: a) $3 < 23 < 10 < 32$ b) $3 < 10 < 23 < 32$ c) $10 < 3 < 23 < 32$ d) $3 < 10 < 32 < 23$

Indiciu

Scrie toate numerele sub formă de radical: $a b = a^{2} b$ .

Rezolvare

$3 = 9$ , $10$ , $23 = 12$ , $32 = 18$ .
$9 < 10 < 12 < 18$ , deci $3 < 10 < 23 < 32$ .

Răspuns: b)

Exercițiul 10

Media geometrică a numerelor $a = (5 - 2)^{2} + 45$ și $b = 4$ este: a) $6, 5$ b) $6$ c) $36$ d) $13$

Indiciu

Întâi calculează $a$ cu formula $(x - y)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

Rezolvare

$a = 5 - 45 + 4 + 45 = 9$ .
Media geometrică: $9 \cdot 4 = 36 = 6$ .
Varianta a) este media aritmetică $\frac{9 + 4}{2}$ .

Răspuns: b) $6$

Exercițiul 11

Numărul $N = 3 \cdot (\frac{1}{3 - 1} + \frac{1}{3 + 1})$ este egal cu: a) $3$ b) $3$ c) $33$ d) $2$

Indiciu

Aduce fracțiile la numitor comun $(3 - 1) (3 + 1) = 2$ .

Rezolvare

$\frac{1}{3 - 1} + \frac{1}{3 + 1} = \frac{( 3 + 1 ) + ( 3 - 1 )}{3 - 1} = \frac{2 3}{2} = 3$ .
$N = 3 \cdot 3 = 3$ .

Răspuns: a) $3$

Exercițiul 12

Determină câte numere naturale $n$ verifică $6 < n < 7$ .

Indiciu

Ridică la pătrat inegalitatea dublă.

Rezolvare

$6 < n < 7 ⟺ 36 < n < 49$ .
Numerele sunt $37, 38, \dots, 48$ , adică $48 - 36 = 12$ numere.

Răspuns: $12$ numere

Exercițiul 13

Numărul $52$ , scris sub un singur radical, este: a) $10$ b) $25$ c) $50$ d) $100$

Indiciu

Factorul din fața radicalului se ridică la pătrat.

Rezolvare

$52 = 5^{2} \cdot 2 = 25 \cdot 2 = 50$ .
Varianta a) ar fi $5 \cdot 2$ (factorul nu a fost ridicat la pătrat).

Răspuns: c) $50$

Exercițiul 14

Numărul $864$ , scris sub forma $a b$ cu $b$ cât mai mic, este: a) $126$ b) $612$ c) $366$ d) $72$

Indiciu

Descompune $864 = 144 \cdot 6$ sau în factori primi.

Rezolvare

$864 = 144 \cdot 6$ , iar $144 = 1 2^{2}$ .
$864 = 126$ .
$612 = 6 \cdot 23 = 123$ , deci nu este $864$ ; iar $366 = 7776$ este prea mare.

Răspuns: a) $126$

Exercițiul 15

Numărul $\frac{17}{4}$ aparține intervalului: a) $(1; 2)$ b) $[2; 2, 5)$ c) $[2, 5; 3)$ d) $[4; 5)$

Indiciu

Scrie $\frac{17}{4} = \frac{17}{2}$ și încadrează $17$ .

Rezolvare

$16 < 17 < 25$ , deci $4 < 17 < 5$ .
Împărțim la $2$ : $2 < \frac{17}{4} < 2, 5$ , deci numărul aparține lui $[2; 2, 5)$ .

Răspuns: b) $[2; 2, 5)$

Exercițiul 16

Cel mai mare număr natural $k$ cu proprietatea $k \leq \frac{50}{3}$ este: a) $3$ b) $4$ c) $5$ d) $16$

Indiciu

Calculează $\frac{50}{3}$ aproximativ și încadrează între pătrate perfecte.

Rezolvare

$\frac{50}{3} = 16, 66 \dots$ și $16 < 16, 66 \dots < 25$ .
Deci $4 < \frac{50}{3} < 5$ , iar cel mai mare natural mai mic sau egal cu el este $4$ .
Varianta d) ia numărul de sub radical în loc de rădăcina lui.

Răspuns: b) $4$

Exercițiul 17

Numărul $2, 9$ aparține intervalului: a) $(1, 6; 1, 7)$ b) $(1, 7; 1, 8)$ c) $(1, 8; 1, 9)$ d) $(2; 2, 1)$

Indiciu

Calculează $1, 7^{2}$ și $1, 8^{2}$ .

Rezolvare

$1, 7^{2} = 2, 89$ și $1, 8^{2} = 3, 24$ .
$2, 89 < 2, 9 < 3, 24$ , deci $1, 7 < 2, 9 < 1, 8$ .

Răspuns: b) $(1, 7; 1, 8)$

Exercițiul 18

Prin raționalizarea numitorului, numărul $\frac{10}{2 5}$ devine: a) $5$ b) $25$ c) $5$ d) $105$

Indiciu

Amplifică cu $5$ și simplifică.

Rezolvare

$\frac{10}{2 5} = \frac{10 5}{2 \cdot 5} = \frac{10 5}{10} = 5$ .

Răspuns: a) $5$

Exercițiul 19

Prin raționalizarea numitorului, numărul $\frac{12}{7 + 3}$ devine: a) $37 - 33$ b) $37 + 33$ c) $127 - 123$ d) $7 - 3$

Indiciu

Amplifică cu conjugata $7 - 3$ .

Rezolvare

$\frac{12 ( 7 - 3 )}{( 7 + 3 ) ( 7 - 3 )} = \frac{12 ( 7 - 3 )}{7 - 3}$ .
$= \frac{12 ( 7 - 3 )}{4} = 3 (7 - 3) = 37 - 33$ .
Varianta c) uită să împartă la numitorul $4$ .

Răspuns: a) $37 - 33$

Exercițiul 20

Un dreptunghi are laturile de $12$ cm și $27$ cm. Latura pătratului care are aceeași arie cu dreptunghiul este: a) $18$ cm b) $19, 5$ cm c) $39$ cm d) $324$ cm

Indiciu

Latura pătratului este media geometrică a laturilor dreptunghiului.

Rezolvare

Aria dreptunghiului: $12 \cdot 27 = 324$ cm $^{2}$ .
Latura pătratului: $324 = 18$ cm (egală cu $m_{g} = 12 \cdot 27$ ).
Varianta b) este media aritmetică $\frac{12 + 27}{2}$ .

Răspuns: a) $18$ cm

Exercițiul 21

Media geometrică a numerelor $a = 3 + 5$ și $b = 3 - 5$ este: a) $3$ b) $2$ c) $4$ d) $6$

Indiciu

Calculează produsul $a \cdot b$ cu formula $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ .

Rezolvare

$ab = 3^{2} - (5)^{2} = 9 - 5 = 4$ .
$m_{g} = 4 = 2$ . (Varianta a) este media aritmetică $\frac{a + b}{2} = 3$ .)

Răspuns: b) $2$

Exercițiul 22

Care dintre numerele următoare este irațional? a) $\frac{49}{4}$ b) $0, 25$ c) $0, 9$ d) $1, 44$

Indiciu

Un radical este rațional când numărul de sub el este pătratul unui rațional.

Rezolvare

$\frac{49}{4} = \frac{7}{2}$ , $0, 25 = 0, 5$ , $1, 44 = 1, 2$ sunt raționale.
$0, 9 = \frac{9}{10} = \frac{3}{10}$ și $10$ nu este pătrat perfect, deci numărul este irațional.

Răspuns: c) $0, 9$

Exercițiul 23

Se consideră mulțimea $A = {- 3; 0; 4; \frac{1}{2}; 5; 2, (3)}$ . Numărul elementelor mulțimii $A \cap (Q ∖ Z)$ este: a) $1$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Indiciu

Caută numerele raționale care nu sunt întregi.

Rezolvare

$- 3, 0, 4 = 2$ sunt întregi.
$\frac{1}{2}$ și $2, (3) = \frac{7}{3}$ sunt raționale, dar nu întregi.
$5$ este irațional. Deci intersecția are $2$ elemente.

Răspuns: b) $2$

Exercițiul 24

Arată că numărul $N = 7 - 43 + 7 + 43$ este natural.

Indiciu

Observă că $7 \pm 43 = (2 \pm 3)^{2}$ și folosește $x^{2} = ∣ x ∣$ .

Rezolvare

$(2 - 3)^{2} = 4 - 43 + 3 = 7 - 43$ și $(2 + 3)^{2} = 7 + 43$ .
$(2 - 3)^{2} = ∣2 - 3 ∣ = 2 - 3$ , pentru că $3 < 2$ .
$(2 + 3)^{2} = 2 + 3$ .
$N = 2 - 3 + 2 + 3 = 4 \in N$ .

Răspuns: $N = 4$ , deci $N \in N$

Exercițiul 25

Calculează media geometrică a numerelor $a = \frac{5}{6 - 1}$ și $b = \frac{5}{6 + 1}$ .

Indiciu

Raționalizează fiecare număr, apoi înmulțește.

Rezolvare

$a = \frac{5 ( 6 + 1 )}{6 - 1} = 6 + 1$ și $b = \frac{5 ( 6 - 1 )}{6 - 1} = 6 - 1$ .
$ab = (6 + 1) (6 - 1) = 6 - 1 = 5$ .
$m_{g} = ab = 5$ .

Răspuns: $5$

Cum apare la examen

Subiectul I, exercițiile 1 și 4: o putere simplă ( $5^{2}$ , $2^{3} + 5$ , $(- 2)^{5} \cdot \dots$ ) sau o comparare de puteri/radicali, de tipul „cel mai mic dintre $7^{2}, 7^{3}, 7^{4}, 7^{5}$ ”, „cel mai mare dintre $\frac{1}{2 ^{3}}, \frac{1}{2 ^{4}}, \dots$ ” sau „ $27$ aparține intervalului $[5, 6)$ ” — se rezolvă cu pătrate perfecte vecine.
Exercițiul 5 din Subiectul I (tabelul cu „patru elevi”): an de an se cere produsul, suma sau media aritmetică/geometrică a unor numere cu radicali. Cel mai frecvent apare produsul de conjugați: $(3 - 22) (3 + 22) = 1$ , $(5 - 26) (5 + 26) = 1$ , $(5 - 2) (5 + 2) = 1$ ; la fel $5 \cdot 20 = 10$ sau $2 \cdot 8 = 4$ . Media geometrică a numerelor $3 \pm 22$ este $1$ , iar media aritmetică este $3$ .
Subiectul I, exercițiul 6 (adevărat/fals): afirmații care cer compararea a doi radicali sau decizia semnului unui număr cu radicali, de tipul „ $23 < 32$ ” sau „ $4 > 25$ ”; se rezolvă introducând coeficienții sub radical.
Calculul cu radicali în Subiectul I: de regulă un singur pas sau doi — scoaterea unui factor de sub radical ( $18 = 32$ , $48 = 43$ ), reducerea termenilor asemenea, produsul a doi radicali ( $5 \cdot 20 = 10$ ) sau al unor conjugați, media geometrică $a \cdot b$ și încadrarea $40 \in [6, 7)$ . Capcane frecvente: $x^{2} = ∣ x ∣$ , $(- 3)^{2}$ față de $- 3^{2}$ , adunarea radicalilor care nu sunt asemenea.
Subiectul II/III, calcul cu radicali: un număr de forma $\frac{12}{2 3} - \frac{4}{3 + 1}$ sau $7 - 43 + 7 + 43$ pe care trebuie să-l aduci la un număr natural: scoți factorii de sub radical, raționalizezi cu conjugata, folosești $x^{2} = ∣ x ∣$ cu semnul decis prin comparare, apoi reduci termenii asemenea.
Mulțimi de numere și medii: întrebări de tipul „care număr este irațional”, „câte elemente are $A \cap (Q ∖ Z)$ ” sau „media geometrică a numerelor $a$ și $b$ ” (după ce ai raționalizat sau ai calculat produsul $ab$ cu formula diferenței de pătrate). Media aritmetică ponderată o găsești în lecția de statistică.

Solvit Puteri și radicali: Exerciții de clasa a 7-a

Exerciții de clasa a 7-a

Grile la nivelul clasei în care se învață tema, cu verificare automată și rezolvare pas cu pas. Sunt 24 de exerciții.

0 din 24 rezolvate

Ușor 9 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Mediu 10 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model