Funcții

Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii

Reperul cartezian: coordonatele unui punct, distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, simetrii, mediane, arii și verificarea naturii unui triunghi sau patrulater.

Exemple rezolvate 5
Exerciții 12
Probleme din examene 13

Solvit Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii: Teorie

Teorie

Video: Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii. Explicația, în câteva minute.

Cum spui unui prieten exact unde se află un loc pe hartă? Cu două numere: „rândul și coloana”, ca la jocul Bătălia Navală sau ca locul tău în sala de cinema. Matematica folosește aceeași idee pentru orice punct din plan: două numere (coordonatele) îl identifică fără greșeală. Cu ele putem transforma probleme de geometrie în calcule cu numere — exact ce se cere la examen.

Reperul cartezian xOy

Un reper cartezian are două axe perpendiculare: axa orizontală $O x$ (axa absciselor) și axa verticală $O y$ (axa ordonatelor), care se intersectează în originea $O (0, 0)$ . Pe fiecare axă alegem aceeași unitate de măsură. Un punct $A$ are coordonatele $A (x_{A}, y_{A})$ : abscisa $x_{A}$ (câte unități spre dreapta/stânga față de $O y$ ) și ordonata $y_{A}$ (câte unități în sus/jos față de $O x$ ).

Reperul xOy cu cele patru cadrane (I–IV). Punctele A(3, 2), B(−2, 3), C(−3, −2), D(2, −3) sunt în cadranele I, II, III, respectiv IV. Liniile punctate arată cum se citesc coordonatele lui A.

Atenție

Ordinea coordonatelor contează: mai întâi abscisa $x$ , apoi ordonata $y$ . Punctele $(3, 2)$ și $(2, 3)$ sunt diferite! Pentru a găsi $A (3, 2)$ : pornești din $O$ , mergi $3$ spre dreapta, apoi $2$ în sus.

Pentru A(3, 2): pornești din O, mergi 3 unități spre dreapta (pe Ox), apoi 2 în sus.

Punctele P(3, 2) și Q(2, 3) sunt diferite: ordinea contează (întâi abscisa, apoi ordonata).

Cadrane și axe. Axele împart planul în patru cadrane. Semnele coordonatelor:

cadranul I: $(+, +)$ ; cadranul II: $(-, +)$ ; cadranul III: $(-, -)$ ; cadranul IV: $(+, -)$ ;
un punct de pe axa $O x$ are ordonata $0$ : $(a, 0)$ ; un punct de pe axa $O y$ are abscisa $0$ : $(0, b)$ ; originea este $O (0, 0)$ .

Distanța de la un punct la axe. Distanța de la $P (x, y)$ la axa $O x$ este $∣ y ∣$ , iar la axa $O y$ este $∣ x ∣$ (valoarea absolută, pentru că distanța nu poate fi negativă). Pentru $P (- 4, 3)$ : $d (P, O x) = 3$ și $d (P, O y) = 4$ .

Distanța de la P(−4, 3) la Ox este 3 (ordonata fără semn), iar la Oy este 4 (abscisa fără semn).

Punctele de pe Ox au ordonata 0: M(4, 0), P(−2, 0). Punctele de pe Oy au abscisa 0: Q(0, 2), N(0, −3).

Distanța dintre două puncte. Cum aflăm lungimea segmentului $A B$ când știm coordonatele? Ducem prin $A$ o paralelă la $O x$ și prin $B$ o paralelă la $O y$ ; ele se taie în $C (x_{B}, y_{A})$ . Triunghiul $A C B$ este dreptunghic în $C$ , cu catetele $A C = ∣ x_{B} - x_{A} ∣$ și $B C = ∣ y_{B} - y_{A} ∣$ . Din teorema lui Pitagora: $A B^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} .$ Pentru $A (1, 1)$ și $B (5, 4)$ : $A C = 4$ , $B C = 3$ , deci $A B = 16 + 9 = 5$ .

Cazul general: ducem AC ∥ Ox și BC ∥ Oy; triunghiul ACB este dreptunghic în C, cu AC = |x_B − x_A| și BC = |y_B − y_A|.

A(1, 1) și B(5, 4): catetele sunt 4 și 3, deci AB = 5 (tripletul 3–4–5).

Și cu coordonate negative: A(−2, 3), B(4, −1). Catetele: 6 și 4, deci AB = √(36 + 16) = √52 = 2√13.

Formule în reperul cartezian

Distanța dintre A și B

A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Mijlocul segmentului AB

M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

Simetricul față de Ox

A (x, y) \to A^{'} (x, - y)

Simetricul față de Oy

A (x, y) \to A^{'} (- x, y)

Simetricul față de origine

A (x, y) \to A^{'} (- x, - y)

Simetricul față de M(m,n)

A^{'} (2 m - x, 2 n - y)

Distanțe la axe

d (P, O x) = ∣ y ∣, d (P, O y) = ∣ x ∣

Mijlocul unui segment. Mijlocul $M$ al segmentului $A B$ are coordonate egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor: $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ . Pentru $A (- 2, 1)$ și $B (4, 5)$ : $x_{M} = \frac{- 2 + 4}{2} = 1$ , $y_{M} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ , deci $M (1, 3)$ . Atenție: dacă *mijlocul* și un capăt sunt date, celălalt capăt se află tot din aceste formule (de exemplu $x_{B} = 2 x_{M} - x_{A}$ ).

Mijlocul lui AB: abscisa lui M (1) este media abscisei lui A (−2) și a lui B (4); ordonata lui M (3) este media dintre 1 și 5.

Simetricul lui A față de M: M este mijlocul segmentului AA′, de aceea A′ se află „la fel de departe” de M ca A, dar în partea opusă.

Simetrii. Pentru $A (2, 3)$ :

față de axa $O x$ (se schimbă semnul ordonatei): $A_{1} (2, - 3)$ ;
față de axa $O y$ (se schimbă semnul abscisei): $A_{2} (- 2, 3)$ ;
față de origine (se schimbă ambele semne): $A_{3} (- 2, - 3)$ ;
față de un punct oarecare $M$ : $M$ este mijlocul segmentului $A A^{'}$ , deci $A^{'} (2 x_{M} - x_{A}, 2 y_{M} - y_{A})$ .

Simetricul față de Ox: A(2, 3) → A₁(2, −3). Se schimbă semnul ordonatei.

Simetricul față de Oy: A(2, 3) → A₂(−2, 3). Se schimbă semnul abscisei.

Simetricul față de origine: A(2, 3) → A₃(−2, −3). O este mijlocul segmentului AA₃.

Aplicații frecvente.

Perimetrul unui triunghi: calculezi cele trei distanțe și le aduni.
Mediana din $C$ în triunghiul $A B C$ : afli mijlocul $M$ al lui $A B$ , apoi lungimea $C M$ .
Aria unui triunghi cu o latură paralelă cu o axă: $\frac{baz a ˘ \cdot ı ˆ n a ˘ l ț ime}{2}$ (înălțimea este diferența dintre celelalte coordonate). Pentru $A (a, 0)$ , $B (0, b)$ și originea $O$ (vârfuri pe axe): $A_{A O B} = \frac{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}{2}$ .
Coliniaritate: trei puncte $A$ , $B$ , $C$ sunt coliniare dacă una dintre distanțe este suma celorlalte două, de exemplu $A B + B C = A C$ (atunci $B$ este între $A$ și $C$ ).

Triunghi cu vârfuri pe axe: A(4, 0), B(0, 3) și O formează un triunghi dreptunghic în O, cu aria 4·3/2 = 6.

Mediana CM: M(4, 1) este mijlocul lui AB, iar C(4, 5); CM este paralelă cu Oy și are lungimea 4.

Natura triunghiului: A(1, 1), B(3, 4), C(6, 2): AB = BC = √13 și AB² + BC² = 26 = AC², deci triunghiul este isoscel și dreptunghic în B.

Paralelogram: diagonalele AC și BD au același mijloc M(4,5; 2,5).

Natura unui triunghi sau patrulater, cu distanțe.

Triunghi isoscel: două laturi de aceeași lungime.
Triunghi dreptunghic: pătratul celei mai mari laturi este suma pătratelor celorlalte două (reciproca teoremei lui Pitagora), de exemplu $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ înseamnă unghi drept în $B$ .
Paralelogram $A B C D$ : diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc. Dacă în plus laturile vecine sunt egale, este romb; dacă diagonalele sunt egale ( $A C = B D$ ), este dreptunghi.

Atenție

Greșeli frecvente: (1) la distanță, pătratele diferențelor se *adună*: $(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , nu se scad; (2) semnele: $x_{B} - x_{A}$ cu $x_{A} = - 2$ înseamnă $x_{B} + 2$ , iar $(- 3)^{2} = 9$ (pozitiv); (3) nu uita radicalul la sfârșit; (4) la mijloc se împarte la $2$ ambele sume; (5) distanța la axa $O x$ este ordonata (nu abscisa!) în valoare absolută.

Solvit Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii: Exemple rezolvate

Exemple rezolvate

Exemplul 1

Se consideră punctele $A (- 1, 2)$ și $B (5, 10)$ . Calculează lungimea segmentului $A B$ și coordonatele mijlocului $M$ al segmentului.

Vezi rezolvarea

$x_{B} - x_{A} = 5 - (- 1) = 6$ și $y_{B} - y_{A} = 10 - 2 = 8$ .
$A B = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10$ .
$x_{M} = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ , $y_{M} = \frac{2 + 10}{2} = 6$ .

Răspuns: $A B = 10$ , $M (2, 6)$

Exemplul 2

Se consideră punctul $A (3, - 4)$ . Determină simetricul lui $A$ față de axa $O x$ , față de axa $O y$ , față de origine și față de punctul $M (1, 1)$ .

Vezi rezolvarea

Față de $O x$ : se schimbă semnul ordonatei, $(3, 4)$ .
Față de $O y$ : se schimbă semnul abscisei, $(- 3, - 4)$ .
Față de origine: se schimbă ambele semne, $(- 3, 4)$ .
Față de $M (1, 1)$ : $M$ este mijlocul lui $A A^{'}$ , deci $x_{A^{'}} = 2 \cdot 1 - 3 = - 1$ și $y_{A^{'}} = 2 \cdot 1 - (- 4) = 6$ , adică $A^{'} (- 1, 6)$ .
Verificare: mijlocul lui $A A^{'}$ este $(\frac{3 - 1}{2}, \frac{- 4 + 6}{2}) = (1, 1) = M$ .

Răspuns: $(3, 4)$ ; $(- 3, - 4)$ ; $(- 3, 4)$ ; $(- 1, 6)$

Exemplul 3

Punctul $M (2, 3)$ este mijlocul segmentului $A B$ , unde $A (- 1, 5)$ . Coordonatele punctului $B$ sunt: a) $(5, 1)$ ; b) $(\frac{1}{2}, 4)$ ; c) $(1, 8)$ ; d) $(3, - 2)$ .

Vezi rezolvarea

Din $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ : $2 = \frac{- 1 + x _{B}}{2}$ , deci $x_{B} = 2 \cdot 2 - (- 1) = 5$ .
Din $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ : $3 = \frac{5 + y _{B}}{2}$ , deci $y_{B} = 2 \cdot 3 - 5 = 1$ .
Deci $B (5, 1)$ . Verificare: mijlocul lui $A B$ este $(\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{5 + 1}{2}) = (2, 3)$ .

Răspuns: a) $(5, 1)$

Exemplul 4

Punctul $P (m + 1, 3 - m)$ se află pe dreapta $y = x$ (bisectoarea cadranelor I și III). Aflați numărul real $m$ și coordonatele lui $P$ .

Vezi rezolvarea

Pe dreapta $y = x$ abscisa și ordonata sunt egale: $m + 1 = 3 - m$ .
$2 m = 2$ , deci $m = 1$ .
$P (1 + 1, 3 - 1) = P (2, 2)$ .

Răspuns: $m = 1$ , $P (2, 2)$

Exemplul 5

În figură, $A B C D$ este un dreptunghi cu $A (- 2, - 1)$ , $B (4, - 1)$ și $C (4, 3)$ . Lungimea diagonalei $A C$ este: a) $10$ ; b) $25$ ; c) $213$ ; d) $26$ .

Vezi rezolvarea

$A C = (x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2}$ .
$x_{C} - x_{A} = 4 - (- 2) = 6$ și $y_{C} - y_{A} = 3 - (- 1) = 4$ .
$A C = 6^{2} + 4^{2} = 52 = 213$ . (Varianta $10$ vine din $6 + 4$ , nu din radicalul sumei pătratelor.)

Răspuns: c) $213$

Solvit Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii: Exerciții

Exersează

Exercițiul 1

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $A (- 2, 3)$ . Coordonatele simetricului punctului $A$ față de axa $O y$ sunt: a) $(2, 3)$ ; b) $(- 2, - 3)$ ; c) $(2, - 3)$ ; d) $(3, - 2)$ .

Indiciu

Față de $O y$ se schimbă semnul abscisei.

Rezolvare

Simetria față de $O y$ păstrează ordonata și schimbă semnul abscisei: $(- 2, 3) \to (2, 3)$ .

Răspuns: a) $(2, 3)$

Exercițiul 2

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ . Lungimea segmentului $A B$ este: a) $3$ ; b) $4$ ; c) $5$ ; d) $7$ .

Indiciu

$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ .

Rezolvare

$A B = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 9 + 16 = 5$ .

Răspuns: c) $5$

Exercițiul 3

Se consideră punctele $A (- 3, 5)$ și $B (7, 1)$ . Coordonatele mijlocului segmentului $A B$ sunt: a) $(2, 3)$ ; b) $(4, 6)$ ; c) $(2, 6)$ ; d) $(5, 3)$ .

Indiciu

Fă media aritmetică a abscisei și apoi a ordonatei.

Rezolvare

$x_{M} = \frac{- 3 + 7}{2} = 2$ și $y_{M} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .

Răspuns: a) $(2, 3)$

Exercițiul 4

Punctul $P (a - 3, 2 a + 1)$ aparține axei $O y$ . Numărul real $a$ este: a) $1$ ; b) $3$ ; c) $- 3$ ; d) $0$ .

Indiciu

Un punct de pe $O y$ are abscisa $0$ .

Rezolvare

Abscisa lui $P$ este $0$ : $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$ .
(Verificare: $P (0, 7)$ .)

Răspuns: b) $3$

Exercițiul 5

În figură este reprezentat punctul $M$ într-un reper cartezian $x O y$ . Coordonatele punctului $M$ sunt: a) $(- 3, 2)$ ; b) $(2, - 3)$ ; c) $(3, - 2)$ ; d) $(- 2, 3)$ .

Indiciu

Abscisa se citește pe axa $O x$ , ordonata pe axa $O y$ .

Rezolvare

Din $M$ coborâm perpendiculara pe $O x$ și citim abscisa: $- 3$ .
Ducem perpendiculara pe $O y$ și citim ordonata: $2$ .
Deci $M (- 3, 2)$ (abscisa se scrie prima).

Răspuns: a) $(- 3, 2)$

Exercițiul 6

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctul $A (- 3, 4)$ . Distanța de la punctul $A$ la originea $O$ este: a) $5$ ; b) $7$ ; c) $1$ ; d) $7$ .

Indiciu

$O A = x_{A}^{2} + y_{A}^{2}$ .

Rezolvare

$O A = (- 3 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2}$ .
$O A = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Răspuns: a) $5$

Exercițiul 7

Punctele $A (2, m + 1)$ și $B (- 2, 5 - m)$ sunt simetrice față de axa $O y$ . Numărul real $m$ este: a) $1$ ; b) $2$ ; c) $3$ ; d) $- 2$ .

Indiciu

Simetricele față de $O y$ au aceeași ordonată și abscise opuse.

Rezolvare

Abscisele $2$ și $- 2$ sunt deja opuse.
Ordonatele trebuie să fie egale: $m + 1 = 5 - m$ .
$2 m = 4$ , deci $m = 2$ . Verificare: $A (2, 3)$ , $B (- 2, 3)$ .

Răspuns: b) $2$

Exercițiul 8

Se consideră punctele $A (- 3, - 1)$ , $B (3, - 1)$ și $C (0, 3)$ . Calculați perimetrul triunghiului $A B C$ .

Indiciu

$A B$ se află pe o dreaptă orizontală; pentru $A C$ și $B C$ folosește formula distanței.

Rezolvare

$A B = ∣3 - (- 3) ∣ = 6$ (punctele au aceeași ordonată).
$A C = (0 + 3)^{2} + (3 + 1)^{2} = 9 + 16 = 5$ .
$B C = (0 - 3)^{2} + (3 + 1)^{2} = 9 + 16 = 5$ .
$P_{A B C} = 6 + 5 + 5 = 16$ .

Răspuns: $16$

Exercițiul 9

Se consideră punctele $A (1, 3)$ și $B (5, 1)$ . Punctul $M (a, 0)$ de pe axa $O x$ este egal depărtat de $A$ și de $B$ . Numărul $a$ este: a) $1$ ; b) $2$ ; c) $3$ ; d) $4$ .

Indiciu

Scrie $M A^{2} = M B^{2}$ cu formula distanței; nu confunda cu mijlocul lui $A B$ .

Rezolvare

$M A^{2} = (a - 1)^{2} + (0 - 3)^{2} = a^{2} - 2 a + 10$ .
$M B^{2} = (a - 5)^{2} + (0 - 1)^{2} = a^{2} - 10 a + 26$ .
$M A^{2} = M B^{2} \Rightarrow - 2 a + 10 = - 10 a + 26 \Rightarrow 8 a = 16 \Rightarrow a = 2$ .
Verificare: $M A^{2} = 1 + 9 = 10 = M B^{2} = 9 + 1$ . (Varianta $3$ este abscisa mijlocului lui $A B$ , care nu se află pe $O x$ .)

Răspuns: b) $2$

Exercițiul 10

Se consideră punctele $A (3, - 2)$ și $M (- 1, 1)$ . Simetricul punctului $A$ față de punctul $M$ are coordonatele: a) $(- 5, 4)$ ; b) $(- 4, 3)$ ; c) $(1, - \frac{1}{2})$ ; d) $(- 3, 2)$ .

Indiciu

$M$ este mijlocul segmentului $A A^{'}$ , unde $A^{'}$ este simetricul.

Rezolvare

Fie $A^{'} (x, y)$ . $M$ mijloc: $- 1 = \frac{3 + x}{2}$ , deci $x = - 5$ .
$1 = \frac{- 2 + y}{2}$ , deci $y = 4$ .
$A^{'} (- 5, 4)$ . (Varianta $(1, - \frac{1}{2})$ este mijlocul lui $A M$ , nu simetricul; $(- 3, 2)$ este simetricul față de origine.)

Răspuns: a) $(- 5, 4)$

Exercițiul 11

Se consideră punctele $A (- 3, - 2)$ , $B (5, - 2)$ și $C (5, 4)$ . Calculați lungimea medianei din $B$ a triunghiului $A B C$ .

Indiciu

Mediana din $B$ unește $B$ cu mijlocul lui $A C$ .

Rezolvare

Mijlocul lui $A C$ : $M (\frac{- 3 + 5}{2}, \frac{- 2 + 4}{2}) = M (1, 1)$ .
$B M = (5 - 1)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 16 + 9 = 5$ .
Control: $A B = 8$ , $B C = 6$ , deci $△ A B C$ e dreptunghic în $B$ și $A C = 10$ ; mediana din $B$ este jumătate din ipotenuză, $5$ .

Răspuns: $B M = 5$

Exercițiul 12

Punctul $P (- 3, b)$ se află în cadranul al III-lea și are distanța $5$ față de originea $O$ . Ordonata $b$ este: a) $4$ ; b) $- 4$ ; c) $2$ ; d) $- 2$ .

Indiciu

$O P^{2} = x_{P}^{2} + y_{P}^{2}$ ; apoi alege semnul după cadran.

Rezolvare

$O P = (- 3)^{2} + b^{2} = 5 \Rightarrow 9 + b^{2} = 25 \Rightarrow b^{2} = 16$ .
Deci $b = 4$ sau $b = - 4$ .
În cadranul al III-lea ordonata este negativă, deci $b = - 4$ și $P (- 3, - 4)$ .

Răspuns: b) $- 4$

Cum apare la examen

Subiectul II (grilă), simetrie față de o axă: în 2021 a apărut „Coordonatele simetricului punctului $A (1, 2)$ față de axa $O y$ ” (răspuns $(- 1, 2)$ ), cu punctul dat în figură. Reține regulile: față de $O x$ se schimbă semnul ordonatei, față de $O y$ semnul abscisei, față de origine ambele semne.
Subiectul I/II, citire și calcul simplu în reper: coordonatele unui punct citite din figură (abscisa prima!), apartenența unui punct la o axă (pe $O y$ : $x = 0$ ; pe $O x$ : $y = 0$ ), mijlocul unui segment, distanța dintre două puncte, simetricul unui punct față de alt punct. Itemii cer doar 2–3 pași de calcul.
Capcane tipice ale variantelor greșite: ordinea coordonatelor ( $(x, y)$ în loc de $(y, x)$ ), semnul diferențelor sub radical (se ridică la pătrat, deci contează doar valoarea absolută), $6 + 4$ în loc de $6^{2} + 4^{2}$ , mijlocul confundat cu simetricul, abscisa confundată cu ordonata.
Formulele se scriu o dată și se înlocuiesc atent: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ , $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ . Alege varianta doar după ce ai verificat, dacă poți, prin înlocuire în enunț.

Solvit Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii: Exerciții de clasa a 7-a

Exerciții de clasa a 7-a

Grile la nivelul clasei în care se învață tema, cu verificare automată și rezolvare pas cu pas. Sunt 14 exerciții.

0 din 14 rezolvate

Ușor 5 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Exercițiu, clasa a 7-a, ușor

model

Mediu 6 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mediu

model

Mai greu 3 exerciții

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Exercițiu, clasa a 7-a, mai greu

model

Solvit Reper cartezian: coordonate, distanțe, simetrii: Probleme din subiectele de examen

Din subiectele de examen

Subiecte reale (Examen, Rezervă, Simulări, Modele), grupate pe subiect. Figurile sunt în PDF-ul original.

Subiectul II grilă, 8 probleme

EN 2025, Examen 7, Subiect II.1

EN 2023, Rezervă 5, Subiect II.1

EN 2021, Sesiune specială 4, Subiect II.3

EN 2026, Simulare 2, Subiect II.1

model

Aici vezi 8 dintre cele 13 probleme de examen ale lecției. Restul sunt în platforma completă.

Testează-te

Am ales 0 probleme la întâmplare, cu prioritate cele la care te-ai blocat. Ai marcat 0 din 0.